Diskrečioji matematika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės: 2ⁿ
Implikacija: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Dvi aibės: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Trys aibės: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Skirtumas ir papildinys: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Pošaibių aibė ir Dekarto sandauga: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
k elementų pošaibiai: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Funkcijos A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Sąryšiai n elementų aibėje: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Kompozicija: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Metodas

Nubraižykite Veno diagramą ir sritis po srities nuspręskite, kas priklauso aibės išraiškai.
Skaičiavimo uždaviniuose sritis pildykite nuo centro į išorę: visos aibės, tada poros, tada pavienės aibės, tada išorė.
Patikrai naudokite įtraukos ir pašalinimo principą: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Uždaviniai

1.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis

Kiek iš 8 teisingumo lentelės eilučių (a ∨ (b ∨ c)) ∨ (¬c ∧ a) yra teisinga? Pažymėkite šį skaičių N.

(a ∨ (b ∨ c)) ∨ (¬c ∧ a)

N =

2.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus

Kuris teiginys yra ekvivalentus ¬∃x (F(x) ∧ G(x)), kai neigimas perkeltas iki pat vidaus? Spustelėkite jį.

¬∃x (F(x) ∧ G(x))

1∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
2∀x (F(x) → ¬G(x))
3∃x (F(x) → ¬G(x))
4∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

3.Aibės, sąryšiai ir funkcijosVidutinis

R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 1), (4, 3)} yra sąryšis aibėje {1, 2, 3, 4}. Koks mažiausias sutvarkytųjų porų skaičius k reikia pridėti prie R, kad jis taptų simetrinis?

R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 1), (4, 3)}

k =

4.Aibės, sąryšiai ir funkcijosSunkus

Rodyklių diagrama rodo funkciją f: A → B, kur A = {1, 2, 3, 4} ir B = {a, b, c, d, e}. Spustelėkite aprašymą, tinkantį f.

f = {(1, a), (2, e), (3, b), (4, c)}

1injektyvi, ne siurjektyvi
2siurjektyvi, ne injektyvi
3bijektyvi
4nei viena

5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 33 × deg 4

L =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Raskite 37 atvirkštinį moduliu 69: skaičių x, kur 0 < x < 69 ir 37·x ≡ 1 (mod 69).

a = 37n = 69

37⁻¹ mod 69 =

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus

RSA raktas naudoja p = 5, q = 37 ir e = 7. Iššifruokite šifrogramą c = 47: raskite pranešimą m.

p = 5q = 37e = 7c = 47

m =

3Tirpalai

1.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 7

Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.

Teisingumo lentelė eilutė po eilutės

a = 1, b = 1, c = 1: b ∨ c = 1, a ∨ (b ∨ c) = 1, ¬c = 0, ¬c ∧ a = 0, (a ∨ (b ∨ c)) ∨ (¬c ∧ a) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: b ∨ c = 1, a ∨ (b ∨ c) = 1, ¬c = 1, ¬c ∧ a = 1, (a ∨ (b ∨ c)) ∨ (¬c ∧ a) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: b ∨ c = 1, a ∨ (b ∨ c) = 1, ¬c = 0, ¬c ∧ a = 0, (a ∨ (b ∨ c)) ∨ (¬c ∧ a) = 1

a = 1, b = 0, c = 0: b ∨ c = 0, a ∨ (b ∨ c) = 1, ¬c = 1, ¬c ∧ a = 1, (a ∨ (b ∨ c)) ∨ (¬c ∧ a) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: b ∨ c = 1, a ∨ (b ∨ c) = 1, ¬c = 0, ¬c ∧ a = 0, (a ∨ (b ∨ c)) ∨ (¬c ∧ a) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: b ∨ c = 1, a ∨ (b ∨ c) = 1, ¬c = 1, ¬c ∧ a = 0, (a ∨ (b ∨ c)) ∨ (¬c ∧ a) = 1

a = 0, b = 0, c = 1: b ∨ c = 1, a ∨ (b ∨ c) = 1, ¬c = 0, ¬c ∧ a = 0, (a ∨ (b ∨ c)) ∨ (¬c ∧ a) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: b ∨ c = 0, a ∨ (b ∨ c) = 0, ¬c = 1, ¬c ∧ a = 0, (a ∨ (b ∨ c)) ∨ (¬c ∧ a) = 0

Suskaičiuokite eilutes su reikšme 1

(a ∨ (b ∨ c)) ∨ (¬c ∧ a): 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0

N = 7

Atsakymas

N = 7

2.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: ∀x (F(x) → ¬G(x))

Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.

Perkelkite neigimą į vidų

¬∃x (F(x) ∧ G(x)) ≡ ∀x (F(x) → ¬G(x))

Atsakymas

∀x (F(x) → ¬G(x))

Kiti variantai arba palieka kvantorių nepakeistą, arba keičia kvantorių tvarką, arba netinkamai neigia vidinę formulę.

3.Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Atsakymas: k = 4

Sąryšiai: aibės X sąryšis R yra sutvarkytųjų porų (x, y) aibė. R yra refleksyvus, kai (x, x) ∈ R su kiekvienu x iš X; simetrinis, kai (x, y) ∈ R visada turi ir (y, x) ∈ R; antisimetrinis, kai (x, y) ir (y, x) abu priklauso R tik jei x = y; ir tranzityvus, kai (x, y) ir (y, z) iš R reikalauja (x, z) ∈ R. Ekvivalentumo sąryšis yra refleksyvus, simetrinis ir tranzityvus ir padalija X į nesikertančias klases.

Pridėtinos poros

{(3, 1), (3, 2), (1, 4), (3, 4)}

Suskaičiuokite

k = 4

Atsakymas

k = 4

4.Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Atsakymas: injektyvi, ne siurjektyvi

Funkcijos ir skaičiavimas: funkcija f: A → B kiekvienam A elementui priskiria lygiai vieną vaizdą B. f yra injektyvi (abipus vienareikšmė), kai skirtingi elementai turi skirtingus vaizdus, siurjektyvi (į visą aibę), kai kiekvienas B elementas yra vaizdas, ir bijektyvi, kai galioja abu. Kai |A| = m ir |B| = n, yra nᵐ funkcijų, n!/(n − m)! injektyvių (m ≤ n), o pagal įtraukos ir pašalinimo principą Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ siurjektyvių. |𝒫(A)| = 2ᵐ ir |A × B| = m·n.

Injektyvi?

kiekvienas B elementas pasiekiamas daugiausia vieną kartą → injektyvi

Siurjektyvi?

d negauna rodyklės → nesiurjektyvi

Atsakymas

injektyvi, ne siurjektyvi

Atsakymas

injektyvi, ne siurjektyvi

5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 12

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 24 = 2(L + 7) − 2

L = 12

Atsakymas

L = 12

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 15

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 4, C: 15

B (4): D: 14, G: 12

G (12): E: 26

D (14): F: 15

C (15): E: 16

F (15)

E (16)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F

d(F) = 15

Atsakymas

d(F) = 15

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: 37⁻¹ mod 69 = 28

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Išplėstinis Euklido algoritmas

Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·37 (mod 69).

r = 69, t = 0

r = 37, q = 1, t = 1

r = 32, q = 1, t = −1

r = 5, q = 6, t = 2

r = 2, q = 2, t = −13

r = 1, q = 2, t = 28

Atvirkštinė

1 ≡ 28·37 (mod 69)

x = 28

patikra: 37·28 = 1036 = 15·69 + 1

Atsakymas

37⁻¹ mod 69 = 28

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: m = 158

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Privatusis rodiklis

n = 185, φ(n) = 144

d = 7⁻¹ mod 144 = 103

Iššifruokite kartotiniu kėlimu kvadratu

103 = 64 + 32 + 4 + 2 + 1

47¹ ≡ 47 (mod 185)

47² ≡ 174 (mod 185)

47⁴ ≡ 121 (mod 185)

47⁸ ≡ 26 (mod 185)

47¹⁶ ≡ 121 (mod 185)

47³² ≡ 26 (mod 185)

47⁶⁴ ≡ 121 (mod 185)

47¹⁰³ ≡ 47·174·121·26·121 ≡ 158 (mod 185)

Žinutė

m = 158

patikra: 158⁷ mod 185 = 47

Atsakymas

m = 158

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics