Diskrečioji matematika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės: 2ⁿ
Implikacija: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Dvi aibės: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Trys aibės: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Skirtumas ir papildinys: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Pošaibių aibė ir Dekarto sandauga: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
k elementų pošaibiai: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Funkcijos A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Sąryšiai n elementų aibėje: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Kompozicija: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Metodas

Nubraižykite Veno diagramą ir sritis po srities nuspręskite, kas priklauso aibės išraiškai.
Skaičiavimo uždaviniuose sritis pildykite nuo centro į išorę: visos aibės, tada poros, tada pavienės aibės, tada išorė.
Patikrai naudokite įtraukos ir pašalinimo principą: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Uždaviniai

1.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis

Kiek iš 8 teisingumo lentelės eilučių ¬(c ∨ b) ∨ (a ∨ (b → c)) yra teisinga? Pažymėkite šį skaičių N.

¬(c ∨ b) ∨ (a ∨ (b → c))

N =

2.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus

Kuris teiginys yra ekvivalentus ¬∀x ∃y R(x, y), kai neigimas perkeltas iki pat vidaus? Spustelėkite jį.

¬∀x ∃y R(x, y)

1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∀x ∃y ¬R(x, y)
4∃y ∀x ¬R(x, y)

3.Aibės, sąryšiai ir funkcijosVidutinis

Kiekvienas Veno diagramos skaičius yra tos srities elementų skaičius. Raskite |(B ∪ A′)′|.

|U| = 45

|(B ∪ A′)′| =

4.Aibės, sąryšiai ir funkcijosSunkus

Kiek yra refleksyvių sąryšių aibėje su 2 elementų? Pažymėkite skaičių N.

|X| = 2

N =

5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 15 viršūnių ir 24 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 15|E| = 24

k =

6.Grafų teorijaSunkus

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 7|E| = 11

W =

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Raskite mažiausią teigiamą sveikąjį skaičių x, kur x ≡ 2 (mod 3) ir x ≡ 6 (mod 8).

x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 6 (mod 8)

x =

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus

RSA raktas naudoja pirminius skaičius p = 31 ir q = 43 bei viešąjį rodiklį e = 17. Raskite privatųjį rodiklį d (0 < d < φ(n)).

p = 31q = 43e = 17

d =

3Tirpalai

1.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 7

Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.

Teisingumo lentelė eilutė po eilutės

a = 1, b = 1, c = 1: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, b → c = 1, a ∨ (b → c) = 1, ¬(c ∨ b) ∨ (a ∨ (b → c)) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, b → c = 0, a ∨ (b → c) = 1, ¬(c ∨ b) ∨ (a ∨ (b → c)) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, b → c = 1, a ∨ (b → c) = 1, ¬(c ∨ b) ∨ (a ∨ (b → c)) = 1

a = 1, b = 0, c = 0: c ∨ b = 0, ¬(c ∨ b) = 1, b → c = 1, a ∨ (b → c) = 1, ¬(c ∨ b) ∨ (a ∨ (b → c)) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, b → c = 1, a ∨ (b → c) = 1, ¬(c ∨ b) ∨ (a ∨ (b → c)) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, b → c = 0, a ∨ (b → c) = 0, ¬(c ∨ b) ∨ (a ∨ (b → c)) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, b → c = 1, a ∨ (b → c) = 1, ¬(c ∨ b) ∨ (a ∨ (b → c)) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: c ∨ b = 0, ¬(c ∨ b) = 1, b → c = 1, a ∨ (b → c) = 1, ¬(c ∨ b) ∨ (a ∨ (b → c)) = 1

Suskaičiuokite eilutes su reikšme 1

¬(c ∨ b) ∨ (a ∨ (b → c)): 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1

N = 7

Atsakymas

N = 7

2.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: ∃x ∀y ¬R(x, y)

Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.

Perkelkite neigimą į vidų

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

Atsakymas

∃x ∀y ¬R(x, y)

Kiti variantai arba palieka kvantorių nepakeistą, arba keičia kvantorių tvarką, arba netinkamai neigia vidinę formulę.

3.Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Atsakymas: |(B ∪ A′)′| = 20

Aibės ir Veno diagramos: A ∪ B turi elementus, esančius A arba B (ar abiejose), A ∩ B – elementus abiejose, A − B – A elementus, kurių nėra B, o papildinys A′ – viską U, kas nėra A. Veno diagramoje kiekviena aibės išraiška yra sričių sąjunga, todėl ją skaičiuokite sritis po srities. Įtraukos ir pašalinimo principas: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ir |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Išraiškos sritys

A ∩ B′ ∩ C′: 7

A ∩ B′ ∩ C: 13

Sudėtis

|(B ∪ A′)′| = 7 + 13 = 20

Atsakymas

|(B ∪ A′)′| = 20

4.Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Atsakymas: N = 4

Sąryšiai: aibės X sąryšis R yra sutvarkytųjų porų (x, y) aibė. R yra refleksyvus, kai (x, x) ∈ R su kiekvienu x iš X; simetrinis, kai (x, y) ∈ R visada turi ir (y, x) ∈ R; antisimetrinis, kai (x, y) ir (y, x) abu priklauso R tik jei x = y; ir tranzityvus, kai (x, y) ir (y, z) iš R reikalauja (x, z) ∈ R. Ekvivalentumo sąryšis yra refleksyvus, simetrinis ir tranzityvus ir padalija X į nesikertančias klases.

Suskaičiuokite laisvus pasirinkimus

N = 2^{2² − 2} = 4

Atsakymas

N = 4

5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 10

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

15 − 1 = 14

Pašalintinos briaunos

k = 24 − 14 = 10

Atsakymas

k = 10

6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 45

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

GE (4): imti

DE (5): imti

DF (6): imti

GB (7): imti

CE (8): imti

BC (12): praleisti, uždaro ciklą

GD (13): praleisti, uždaro ciklą

AC (15): imti

Bendras svoris

W = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 15 = 45

Atsakymas

W = 45

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: x = 14

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Pirmoji kongruencija

x = 2 + 3k

Antroji kongruencija

2 + 3k ≡ 6 (mod 8) → 3k ≡ 4 (mod 8)

k ≡ 3·4 ≡ 4 (mod 8)

Rezultatas

x = 2 + 3·4 = 14

x = 14

patikra: 14 mod 3 = 2, 14 mod 8 = 6

Atsakymas

x = 14

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: d = 593

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Modulis ir Oilerio funkcija

n = 31·43 = 1333

φ(n) = 30·42 = 1260

Išplėstinis Euklido algoritmas

r = 1260, t = 0

r = 17, q = 74, t = 1

r = 2, q = 8, t = −74

r = 1, q = 2, t = 593

Privatusis rodiklis

d = 593

patikra: 17·593 = 10081 = 8·1260 + 1

Atsakymas

d = 593

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics