Diskrečioji matematika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės: 2ⁿ
Implikacija: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Dvi aibės: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Trys aibės: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Skirtumas ir papildinys: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Pošaibių aibė ir Dekarto sandauga: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
k elementų pošaibiai: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Funkcijos A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Sąryšiai n elementų aibėje: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Kompozicija: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Metodas

Nubraižykite Veno diagramą ir sritis po srities nuspręskite, kas priklauso aibės išraiškai.
Skaičiavimo uždaviniuose sritis pildykite nuo centro į išorę: visos aibės, tada poros, tada pavienės aibės, tada išorė.
Patikrai naudokite įtraukos ir pašalinimo principą: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Uždaviniai

1.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis

Kiek iš 8 teisingumo lentelės eilučių (¬(¬q ∧ r) ∨ p) ∧ ((p ∧ r) ∧ q) yra teisinga? Pažymėkite šį skaičių N.

(¬(¬q ∧ r) ∨ p) ∧ ((p ∧ r) ∧ q)

N =

2.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus

Kiek iš 16 teisingumo lentelės eilučių daro (¬s ∨ (q ∧ p)) ∨ ((p → q) ∧ r) teisingą? Pažymėkite šį skaičių N.

(¬s ∨ (q ∧ p)) ∨ ((p → q) ∧ r)

N =

3.Aibės, sąryšiai ir funkcijosVidutinis

Iš 63 pirmakursių 31 išlaikė matematiką (M), 30 išlaikė fiziką (P) ir 27 išlaikė chemiją (C). 14 išlaikė M ir P, 15 išlaikė M ir C, 9 išlaikė P ir C, o 2 išlaikė visus tris. Kiek jų yra lygiai vienoje iš trijų aibių? Pažymėkite skaičių n.

|U| = 63

n =

4.Aibės, sąryšiai ir funkcijosSunkus

Rodyklių diagrama rodo funkciją f: A → B, kur A = {1, 2} ir B = {a, b, c, d, e}. Spustelėkite aprašymą, tinkantį f.

f = {(1, e), (2, b)}

1injektyvi, ne siurjektyvi
2siurjektyvi, ne injektyvi
3bijektyvi
4nei viena

5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K₄? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K₄

H =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Išspręskite 37x ≡ 54 (mod 71). Pateikite sprendinį x, kur 0 < x < 71.

37x ≡ 54 (mod 71)

x =

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus

RSA raktas naudoja pirminius skaičius p = 31 ir q = 47 bei viešąjį rodiklį e = 11. Raskite privatųjį rodiklį d (0 < d < φ(n)).

p = 31q = 47e = 11

d =

3Tirpalai

1.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 1

Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.

Teisingumo lentelė eilutė po eilutės

p = 1, q = 1, r = 1: ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, ¬(¬q ∧ r) = 1, ¬(¬q ∧ r) ∨ p = 1, p ∧ r = 1, (p ∧ r) ∧ q = 1, (¬(¬q ∧ r) ∨ p) ∧ ((p ∧ r) ∧ q) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, ¬(¬q ∧ r) = 1, ¬(¬q ∧ r) ∨ p = 1, p ∧ r = 0, (p ∧ r) ∧ q = 0, (¬(¬q ∧ r) ∨ p) ∧ ((p ∧ r) ∧ q) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: ¬q = 1, ¬q ∧ r = 1, ¬(¬q ∧ r) = 0, ¬(¬q ∧ r) ∨ p = 1, p ∧ r = 1, (p ∧ r) ∧ q = 0, (¬(¬q ∧ r) ∨ p) ∧ ((p ∧ r) ∧ q) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: ¬q = 1, ¬q ∧ r = 0, ¬(¬q ∧ r) = 1, ¬(¬q ∧ r) ∨ p = 1, p ∧ r = 0, (p ∧ r) ∧ q = 0, (¬(¬q ∧ r) ∨ p) ∧ ((p ∧ r) ∧ q) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, ¬(¬q ∧ r) = 1, ¬(¬q ∧ r) ∨ p = 1, p ∧ r = 0, (p ∧ r) ∧ q = 0, (¬(¬q ∧ r) ∨ p) ∧ ((p ∧ r) ∧ q) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: ¬q = 0, ¬q ∧ r = 0, ¬(¬q ∧ r) = 1, ¬(¬q ∧ r) ∨ p = 1, p ∧ r = 0, (p ∧ r) ∧ q = 0, (¬(¬q ∧ r) ∨ p) ∧ ((p ∧ r) ∧ q) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: ¬q = 1, ¬q ∧ r = 1, ¬(¬q ∧ r) = 0, ¬(¬q ∧ r) ∨ p = 0, p ∧ r = 0, (p ∧ r) ∧ q = 0, (¬(¬q ∧ r) ∨ p) ∧ ((p ∧ r) ∧ q) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: ¬q = 1, ¬q ∧ r = 0, ¬(¬q ∧ r) = 1, ¬(¬q ∧ r) ∨ p = 1, p ∧ r = 0, (p ∧ r) ∧ q = 0, (¬(¬q ∧ r) ∨ p) ∧ ((p ∧ r) ∧ q) = 0

Suskaičiuokite eilutes su reikšme 1

(¬(¬q ∧ r) ∨ p) ∧ ((p ∧ r) ∧ q): 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

N = 1

Atsakymas

N = 1

2.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 12

Stulpeliai

¬s; q ∧ p; ¬s ∨ (q ∧ p); p → q; (p → q) ∧ r; (¬s ∨ (q ∧ p)) ∨ ((p → q) ∧ r)

Skaidymas pagal p

p = 1: 6

p = 0: 6

N = 6 + 6 = 12

Atsakymas

N = 12

3.Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Atsakymas: n = 18

Aibės ir Veno diagramos: A ∪ B turi elementus, esančius A arba B (ar abiejose), A ∩ B – elementus abiejose, A − B – A elementus, kurių nėra B, o papildinys A′ – viską U, kas nėra A. Veno diagramoje kiekviena aibės išraiška yra sričių sąjunga, todėl ją skaičiuokite sritis po srities. Įtraukos ir pašalinimo principas: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ir |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Centras ir poros

M ∩ P ∩ C: 2

M ∩ P tik: 14 − 2 = 12

M ∩ C tik: 15 − 2 = 13

P ∩ C tik: 9 − 2 = 7

Pavienės aibės

M tik: 31 − 12 − 13 − 2 = 4

P tik: 30 − 12 − 7 − 2 = 9

C tik: 27 − 13 − 7 − 2 = 5

Atsakymas

4 + 9 + 5 = 18

Atsakymas

n = 18

4.Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Atsakymas: injektyvi, ne siurjektyvi

Funkcijos ir skaičiavimas: funkcija f: A → B kiekvienam A elementui priskiria lygiai vieną vaizdą B. f yra injektyvi (abipus vienareikšmė), kai skirtingi elementai turi skirtingus vaizdus, siurjektyvi (į visą aibę), kai kiekvienas B elementas yra vaizdas, ir bijektyvi, kai galioja abu. Kai |A| = m ir |B| = n, yra nᵐ funkcijų, n!/(n − m)! injektyvių (m ≤ n), o pagal įtraukos ir pašalinimo principą Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ siurjektyvių. |𝒫(A)| = 2ᵐ ir |A × B| = m·n.

Injektyvi?

kiekvienas B elementas pasiekiamas daugiausia vieną kartą → injektyvi

Siurjektyvi?

a, c, d negauna rodyklės → nesiurjektyvi

Atsakymas

injektyvi, ne siurjektyvi

Atsakymas

injektyvi, ne siurjektyvi

5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 3

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Atsakymas

H = 3

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 32

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 15, C: 14

C (14): E: 23

B (15): D: 23

D (23): F: 34

E (23): F: 32

F (32)

Trumpiausias kelias

A → C → E → F

d(F) = 32

Atsakymas

d(F) = 32

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: x = 36

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

37 atvirkštinis

r = 71, t = 0

r = 37, q = 1, t = 1

r = 34, q = 1, t = −1

r = 3, q = 11, t = 2

r = 1, q = 3, t = −23

37⁻¹ ≡ 48 (mod 71)

Išspręskite

x ≡ 48·54 = 2592 ≡ 36 (mod 71)

patikra: 37·36 = 1332 ≡ 54 (mod 71)

Atsakymas

x = 36

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: d = 251

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Modulis ir Oilerio funkcija

n = 31·47 = 1457

φ(n) = 30·46 = 1380

Išplėstinis Euklido algoritmas

r = 1380, t = 0

r = 11, q = 125, t = 1

r = 5, q = 2, t = −125

r = 1, q = 5, t = 251

Privatusis rodiklis

d = 251

patikra: 11·251 = 2761 = 2·1380 + 1

Atsakymas

d = 251

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics