Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.
Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.
Grafų teorija
Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij
Metodas
Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).
Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Dalyba su liekana
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodas
Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Uždaviniai
1.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis
Norite įrodyti (b ∧ a) → c kontrapozicija. Kurią implikaciją įrodote vietoj jos? Spustelėkite ją.
(b ∧ a) → c
1(b ∧ a) ∧ ¬c
2¬(b ∧ a) → ¬c
3¬c → ¬(b ∧ a)
4c → (b ∧ a)
2.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus
Duotos prielaidos c → b; b → a; ¬a. Kokia išvada iš jų išplaukia? Spustelėkite ją.
c → bb → a¬a
1¬c ∧ a
2c
3a
4¬c
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijosVidutinis
Iš 49 studentų grupės 16 kalba prancūziškai (F), 29 vokiškai (G) ir 26 ispaniškai (S). 12 kalba prancūziškai ir vokiškai, 9 prancūziškai ir ispaniškai, 14 vokiškai ir ispaniškai, o 6 kalba visomis trimis kalbomis. Kiek jų nėra nė vienoje iš trijų aibių?
|U| = 49
|(F ∪ G ∪ S)′| =
4.Aibės, sąryšiai ir funkcijosSunkus
Kiek yra refleksyvių sąryšių aibėje su 4 elementų? Pažymėkite skaičių N.
|X| = 4
N =
5.Grafų teorijaVidutinis
Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, 3 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?
4 × deg 53 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 6; praleistos briaunos neskaičiuojamos.
k = 6
1briauna AB
2briauna AC
3briauna BC
4briauna BD
5briauna CE
6briauna DE
7briauna DF
8briauna GC
9briauna GD
10briauna GE
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis
Raskite 24 atvirkštinį moduliu 59: skaičių x, kur 0 < x < 59 ir 24·x ≡ 1 (mod 59).
a = 24n = 59
24−1 mod 59 =
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus
Kartotiniu kėlimu kvadratu raskite 19194 mod 47.
a = 19k = 194n = 47
19194 mod 47 =
3Tirpalai
1.Teiginių logika ir įrodymai
Atsakymas: ¬c → ¬(b ∧ a)
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Implikacijos dalys
a = b ∧ a, b = c
Kontrapozicija
¬b → ¬a = ¬c → ¬(b ∧ a)
Atsakymas
¬c → ¬(b ∧ a)
Kontrapozicija yra ekvivalenti pradiniam teiginiui, todėl ją įrodžius įrodomas ir teiginys.
2.Teiginių logika ir įrodymai
Atsakymas: ¬c
Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.
Eilutės, kuriose visos prielaidos teisingos
a = 0, b = 0, c = 0: ¬c ∧ a = 0, c = 0, a = 0, ¬c = 1
Išvada
¬c (dvigubas modus tollens)
Atsakymas
¬c
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: |(F ∪ G ∪ S)′| = 7
Aibės ir Veno diagramos: A ∪ B turi elementus, esančius A arba B (ar abiejose), A ∩ B – elementus abiejose, A − B – A elementus, kurių nėra B, o papildinys A′ – viską U, kas nėra A. Veno diagramoje kiekviena aibės išraiška yra sričių sąjunga, todėl ją skaičiuokite sritis po srities. Įtraukos ir pašalinimo principas: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ir |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centras ir poros
F ∩ G ∩ S: 6
F ∩ G tik: 12 − 6 = 6
F ∩ S tik: 9 − 6 = 3
G ∩ S tik: 14 − 6 = 8
Pavienės aibės
F tik: 16 − 6 − 3 − 6 = 1
G tik: 29 − 6 − 8 − 6 = 9
S tik: 26 − 3 − 8 − 6 = 9
Atsakymas
|F ∪ G ∪ S| = 42
|(F ∪ G ∪ S)′| = 49 − 42 = 7
Atsakymas
|(F ∪ G ∪ S)′| = 7
4.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: N = 4096
Sąryšiai: aibės X sąryšis R yra sutvarkytųjų porų (x, y) aibė. R yra refleksyvus, kai (x, x) ∈ R su kiekvienu x iš X; simetrinis, kai (x, y) ∈ R visada turi ir (y, x) ∈ R; antisimetrinis, kai (x, y) ir (y, x) abu priklauso R tik jei x = y; ir tranzityvus, kai (x, y) ir (y, z) iš R reikalauja (x, z) ∈ R. Ekvivalentumo sąryšis yra refleksyvus, simetrinis ir tranzityvus ir padalija X į nesikertančias klases.
Suskaičiuokite laisvus pasirinkimus
N = 24² − 4 = 4096
Atsakymas
N = 4096
5.Grafų teorija
Atsakymas: L = 14
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Rankų paspaudimo lema medžiui
L + 26 = 2(L + 7) − 2
L = 14
Atsakymas
L = 14
Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.
6.Grafų teorija
Atsakymas: briauna BD
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.
Kruskalio algoritmas
1. CE (3)
2. AB (4)
3. DF (5)
4. AC (6)
5. GD (11)
6. BD (12)
briaunos numeris 6
BD
Atsakymas
briauna BD
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: 24−1 mod 59 = 32
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Išplėstinis Euklido algoritmas
Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·24 (mod 59).
r = 59, t = 0
r = 24, q = 2, t = 1
r = 11, q = 2, t = −2
r = 2, q = 5, t = 5
r = 1, q = 2, t = −27
Atvirkštinė
1 ≡ −27·24 (mod 59)
x = 32
patikra: 24·32 = 768 = 13·59 + 1
Atsakymas
24−1 mod 59 = 32
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: 19194 mod 47 = 4
Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.