Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.
Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.
Grafų teorija
Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij
Metodas
Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).
Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Dalyba su liekana
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodas
Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Uždaviniai
1.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis
Kuri formulė yra logiškai ekvivalenti ¬(b ↔ c)? Spustelėkite ją.
¬(b ↔ c)
1¬b ↔ ¬c
2b ↔ ¬c
3¬b ∨ ¬c
4b ∧ ¬c
2.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus
Argumentas su prielaidomis c → (b ∨ a); c ir išvada b negalioja. Spustelėkite teisingumo lentelės eilutę, kuri yra kontrapavyzdys.
c → (b ∨ a)c∴ b
1a = 1, b = 1, c = 1
2a = 1, b = 1, c = 0
3a = 1, b = 0, c = 1
4a = 1, b = 0, c = 0
5a = 0, b = 1, c = 1
6a = 0, b = 1, c = 0
7a = 0, b = 0, c = 1
8a = 0, b = 0, c = 0
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijosVidutinis
Apklausoje 66 žmonių nustatyta, kad 15 turi nešiojamąjį kompiuterį (L), 29 planšetę (T) ir 33 išmanųjį laikrodį (W). 2 turi L ir T, 5 turi L ir W, 15 turi T ir W, o 1 turi visus tris. Kiek jų nėra nė vienoje iš trijų aibių?
|U| = 66
|(L ∪ T ∪ W)′| =
4.Aibės, sąryšiai ir funkcijosSunkus
Rodyklių diagrama rodo funkciją f: A → B, kur A = {1, 2, 3} ir B = {a, b, c}. Spustelėkite aprašymą, tinkantį f.
f = {(1, c), (2, a), (3, b)}
1injektyvi, ne siurjektyvi
2siurjektyvi, ne injektyvi
3bijektyvi
4nei viena
5.Grafų teorijaVidutinis
Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, 3 viršūnių, kurių laipsnis 5, 3 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?
2 × deg 33 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės B. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 3.
pradžia: Bk = 3
1briauna AB
2briauna AC
3briauna BC
4briauna BD
5briauna CE
6briauna DF
7briauna EF
8briauna BE
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis
Raskite 32 atvirkštinį moduliu 53: skaičių x, kur 0 < x < 53 ir 32·x ≡ 1 (mod 53).
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Dėsnis
¬(a ↔ b) yra 1 lygiai tada, kai a ir b skiriasi, o tai yra a ↔ ¬b.
¬(b ↔ c) ≡ b ↔ ¬c
Patikrinkite teisingumo lentele
b = 1, c = 1: 0 | 1 0 0 0
b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 1
b = 0, c = 1: 1 | 0 1 1 0
b = 0, c = 0: 0 | 1 0 1 0
Atsakymas
b ↔ ¬c
Stulpeliai po brūkšniu yra variantai pateikta tvarka.
2.Teiginių logika ir įrodymai
Atsakymas: a = 1, b = 0, c = 1
Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.
Prielaidos ir išvada eilutė po eilutės
a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 0 | 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 0
a = 1, b = 0, c = 0: 1 0 | 0
a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 1
a = 0, b = 1, c = 0: 1 0 | 1
a = 0, b = 0, c = 1: 0 1 | 0
a = 0, b = 0, c = 0: 1 0 | 0
Kontrapavyzdys
a = 1, b = 0, c = 1
Atsakymas
a = 1, b = 0, c = 1
Tokios formos argumentas atrodo kaip galiojanti taisyklė, bet vienos eilutės pakanka parodyti, kad ji negalioja.
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: |(L ∪ T ∪ W)′| = 10
Aibės ir Veno diagramos: A ∪ B turi elementus, esančius A arba B (ar abiejose), A ∩ B – elementus abiejose, A − B – A elementus, kurių nėra B, o papildinys A′ – viską U, kas nėra A. Veno diagramoje kiekviena aibės išraiška yra sričių sąjunga, todėl ją skaičiuokite sritis po srities. Įtraukos ir pašalinimo principas: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ir |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Centras ir poros
L ∩ T ∩ W: 1
L ∩ T tik: 2 − 1 = 1
L ∩ W tik: 5 − 1 = 4
T ∩ W tik: 15 − 1 = 14
Pavienės aibės
L tik: 15 − 1 − 4 − 1 = 9
T tik: 29 − 1 − 14 − 1 = 13
W tik: 33 − 4 − 14 − 1 = 14
Atsakymas
|L ∪ T ∪ W| = 56
|(L ∪ T ∪ W)′| = 66 − 56 = 10
Atsakymas
|(L ∪ T ∪ W)′| = 10
4.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: bijektyvi
Funkcijos ir skaičiavimas: funkcija f: A → B kiekvienam A elementui priskiria lygiai vieną vaizdą B. f yra injektyvi (abipus vienareikšmė), kai skirtingi elementai turi skirtingus vaizdus, siurjektyvi (į visą aibę), kai kiekvienas B elementas yra vaizdas, ir bijektyvi, kai galioja abu. Kai |A| = m ir |B| = n, yra nᵐ funkcijų, n!/(n − m)! injektyvių (m ≤ n), o pagal įtraukos ir pašalinimo principą Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ siurjektyvių. |𝒫(A)| = 2ᵐ ir |A × B| = m·n.
Injektyvi?
kiekvienas B elementas pasiekiamas daugiausia vieną kartą → injektyvi
Siurjektyvi?
kiekvienas B elementas pasiekiamas → siurjektyvi
Atsakymas
bijektyvi
Atsakymas
bijektyvi
5.Grafų teorija
Atsakymas: L = 19
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Rankų paspaudimo lema medžiui
L + 39 = 2(L + 11) − 2
L = 19
Atsakymas
L = 19
Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.
6.Grafų teorija
Atsakymas: briauna AC
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.
Primo algoritmas
1. BE (6)
2. CE (1)
3. AC (5)
4. BD (10)
5. DF (4)
briaunos numeris 3
AC
Atsakymas
briauna AC
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: 32−1 mod 53 = 5
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Išplėstinis Euklido algoritmas
Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·32 (mod 53).
r = 53, t = 0
r = 32, q = 1, t = 1
r = 21, q = 1, t = −1
r = 11, q = 1, t = 2
r = 10, q = 1, t = −3
r = 1, q = 10, t = 5
Atvirkštinė
1 ≡ 5·32 (mod 53)
x = 5
patikra: 32·5 = 160 = 3·53 + 1
Atsakymas
32−1 mod 53 = 5
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: x = 8
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).