Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.
Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.
Grafų teorija
Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij
Metodas
Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).
Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Dalyba su liekana
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodas
Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Uždaviniai
1.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis
Kuri formulė yra logiškai ekvivalenti ¬(c ∨ a)? Spustelėkite ją.
¬(c ∨ a)
1¬c ∧ ¬a
2c ∨ ¬a
3¬c ∨ ¬a
4¬c ∧ a
2.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus
Kiek iš 16 teisingumo lentelės eilučių daro ¬(d ∧ a) → (d ↔ (b ∨ c)) teisingą? Pažymėkite šį skaičių N.
¬(d ∧ a) → (d ↔ (b ∨ c))
N =
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijosVidutinis
Iš 35 pirmakursių 19 išlaikė matematiką (M), 18 išlaikė fiziką (P) ir 13 išlaikė abu. Kiek jų yra M, bet nėra P?
|U| = 35|M| = 19|P| = 18|M ∩ P| = 13
|M − P| =
4.Aibės, sąryšiai ir funkcijosSunkus
Kiek sąryšių aibėje su 4 elementų yra ir refleksyvūs, ir simetriniai? Pažymėkite skaičių N.
|X| = 4
N =
5.Grafų teorijaVidutinis
Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.
|V| = 5|E| = 6
1Oilerio ciklas
2Oilerio kelias, ne ciklas
3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).
pradžia: Apabaiga: F
d(F) =
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis
Raskite 29 atvirkštinį moduliu 99: skaičių x, kur 0 < x < 99 ir 29·x ≡ 1 (mod 99).
a = 29n = 99
29−1 mod 99 =
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus
67 yra pirminis skaičius. Pasinaudokite mažąja Ferma teorema ir raskite 989624 mod 67.
p = 67k = 89624
989624 mod 67 =
3Tirpalai
1.Teiginių logika ir įrodymai
Atsakymas: ¬c ∧ ¬a
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Dėsnis
De Morgano dėsnis: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b. ∨ virsta ∧ ir abi dalys paneigiamos.
¬(c ∨ a) ≡ ¬c ∧ ¬a
Patikrinkite teisingumo lentele
a = 1, c = 1: 0 | 0 1 0 0
a = 1, c = 0: 0 | 0 0 1 1
a = 0, c = 1: 0 | 0 1 1 0
a = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 0
Atsakymas
¬c ∧ ¬a
Stulpeliai po brūkšniu yra variantai pateikta tvarka.
2.Teiginių logika ir įrodymai
Atsakymas: N = 9
Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.
Stulpeliai
d ∧ a; ¬(d ∧ a); b ∨ c; d ↔ (b ∨ c); ¬(d ∧ a) → (d ↔ (b ∨ c))
Skaidymas pagal a
a = 1: 5
a = 0: 4
N = 5 + 4 = 9
Atsakymas
N = 9
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: |M − P| = 6
Aibės ir Veno diagramos: A ∪ B turi elementus, esančius A arba B (ar abiejose), A ∩ B – elementus abiejose, A − B – A elementus, kurių nėra B, o papildinys A′ – viską U, kas nėra A. Veno diagramoje kiekviena aibės išraiška yra sričių sąjunga, todėl ją skaičiuokite sritis po srities. Įtraukos ir pašalinimo principas: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ir |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Sritys
M ∩ P: 13
M − P: 19 − 13 = 6
P − M: 18 − 13 = 5
(M ∪ P)′: 35 − (6 + 5 + 13) = 11
Atsakymas
|M − P| = 6
Atsakymas
|M − P| = 6
4.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: N = 64
Sąryšiai: aibės X sąryšis R yra sutvarkytųjų porų (x, y) aibė. R yra refleksyvus, kai (x, x) ∈ R su kiekvienu x iš X; simetrinis, kai (x, y) ∈ R visada turi ir (y, x) ∈ R; antisimetrinis, kai (x, y) ir (y, x) abu priklauso R tik jei x = y; ir tranzityvus, kai (x, y) ir (y, z) iš R reikalauja (x, z) ∈ R. Ekvivalentumo sąryšis yra refleksyvus, simetrinis ir tranzityvus ir padalija X į nesikertančias klases.
Suskaičiuokite laisvus pasirinkimus
N = 26 = 64
Atsakymas
N = 64
5.Grafų teorija
Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.
6.Grafų teorija
Atsakymas: d(F) = 16
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.
Dijkstra etapas po etapo
Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.
A (0): B: 5, C: 10
B (5): D: 9
D (9): E: 12, F: 16, G: 12
C (10): G: 11
G (11)
E (12)
F (16)
Trumpiausias kelias
A → B → D → F
d(F) = 16
Atsakymas
d(F) = 16
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: 29−1 mod 99 = 41
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Išplėstinis Euklido algoritmas
Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·29 (mod 99).
r = 99, t = 0
r = 29, q = 3, t = 1
r = 12, q = 2, t = −3
r = 5, q = 2, t = 7
r = 2, q = 2, t = −17
r = 1, q = 2, t = 41
Atvirkštinė
1 ≡ 41·29 (mod 99)
x = 41
patikra: 29·41 = 1189 = 12·99 + 1
Atsakymas
29−1 mod 99 = 41
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: 989624 mod 67 = 40
Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.