Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.
Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.
Grafų teorija
Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij
Metodas
Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).
Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Dalyba su liekana
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodas
Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Uždaviniai
1.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis
Kuri formulė yra logiškai ekvivalenti q ∨ (r ∧ p)? Spustelėkite ją.
q ∨ (r ∧ p)
1q ∧ (r ∨ p)
2(q ∧ r) ∨ (q ∧ p)
3(q ∨ r) ∧ (q ∨ p)
4(q ∨ r) ∧ p
2.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus
Kiek iš 16 teisingumo lentelės eilučių daro ((¬q ∨ r) ↔ (p ∨ r)) ↔ (q ∧ (s → p)) teisingą? Pažymėkite šį skaičių N.
((¬q ∨ r) ↔ (p ∨ r)) ↔ (q ∧ (s → p))
N =
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijosVidutinis
Sąryšis R aibėje {1, 2, 3, 4} pavaizduotas kaip orientuotasis grafas (kilpa reiškia (x, x) ∈ R). Galioja lygiai viena iš keturių savybių. Spustelėkite ją.
Rodyklių diagrama rodo funkciją f: A → B, kur A = {1, 2, 3, 4} ir B = {a, b, c, d}. Spustelėkite aprašymą, tinkantį f.
f = {(1, b), (2, a), (3, a), (4, a)}
1injektyvi, ne siurjektyvi
2siurjektyvi, ne injektyvi
3bijektyvi
4nei viena
5.Grafų teorijaVidutinis
Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.
|V| = 7|E| = 11
1Oilerio ciklas
2Oilerio kelias, ne ciklas
3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 2; praleistos briaunos neskaičiuojamos.
k = 2
1briauna AB
2briauna AC
3briauna BD
4briauna CE
5briauna DE
6briauna DF
7briauna EF
8briauna BE
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis
Raskite Oilerio funkciją φ(108), t. y. sveikųjų skaičių nuo 1 iki 108, tarpusavyje pirminių su 108, skaičių.
n = 108 = 22·33
φ(108) =
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus
RSA raktas naudoja pirminius skaičius p = 7 ir q = 47 bei viešąjį rodiklį e = 5. Raskite privatųjį rodiklį d (0 < d < φ(n)).
p = 7q = 47e = 5
d =
3Tirpalai
1.Teiginių logika ir įrodymai
Atsakymas: (q ∨ r) ∧ (q ∨ p)
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Dėsnis
∨ yra distributyvi ∧ atžvilgiu: a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
q ∨ (r ∧ p) ≡ (q ∨ r) ∧ (q ∨ p)
Patikrinkite teisingumo lentele
p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 0 0 1 1
p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 0
p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 0 0 1 0
p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0
Atsakymas
(q ∨ r) ∧ (q ∨ p)
Stulpeliai po brūkšniu yra variantai pateikta tvarka.
2.Teiginių logika ir įrodymai
Atsakymas: N = 6
Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.
Stulpeliai
¬q; ¬q ∨ r; p ∨ r; (¬q ∨ r) ↔ (p ∨ r); s → p; q ∧ (s → p); ((¬q ∨ r) ↔ (p ∨ r)) ↔ (q ∧ (s → p))
Skaidymas pagal p
p = 1: 2
p = 0: 4
N = 2 + 4 = 6
Atsakymas
N = 6
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: refleksyvus
Sąryšiai: aibės X sąryšis R yra sutvarkytųjų porų (x, y) aibė. R yra refleksyvus, kai (x, x) ∈ R su kiekvienu x iš X; simetrinis, kai (x, y) ∈ R visada turi ir (y, x) ∈ R; antisimetrinis, kai (x, y) ir (y, x) abu priklauso R tik jei x = y; ir tranzityvus, kai (x, y) ir (y, z) iš R reikalauja (x, z) ∈ R. Ekvivalentumo sąryšis yra refleksyvus, simetrinis ir tranzityvus ir padalija X į nesikertančias klases.
refleksyvus
galioja
simetrinė
negalioja: (1, 4) ∈ R, (4, 1) ∉ R
antisimetrinis
negalioja: (1, 2), (2, 1) ∈ R
tranzityvus
negalioja: (2, 1), (1, 4) ∈ R, (2, 4) ∉ R
Atsakymas
refleksyvus
4.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: nei viena
Funkcijos ir skaičiavimas: funkcija f: A → B kiekvienam A elementui priskiria lygiai vieną vaizdą B. f yra injektyvi (abipus vienareikšmė), kai skirtingi elementai turi skirtingus vaizdus, siurjektyvi (į visą aibę), kai kiekvienas B elementas yra vaizdas, ir bijektyvi, kai galioja abu. Kai |A| = m ir |B| = n, yra nᵐ funkcijų, n!/(n − m)! injektyvių (m ≤ n), o pagal įtraukos ir pašalinimo principą Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ siurjektyvių. |𝒫(A)| = 2ᵐ ir |A × B| = m·n.
Injektyvi?
f(2) = f(3) = a → neinjektyvi
Siurjektyvi?
c, d negauna rodyklės → nesiurjektyvi
Atsakymas
nei viena
Atsakymas
nei viena
5.Grafų teorija
Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.
6.Grafų teorija
Atsakymas: briauna AB
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.
Kruskalio algoritmas
1. CE (5)
2. AB (6)
3. DF (8)
4. AC (10)
5. EF (12)
briaunos numeris 2
AB
Atsakymas
briauna AB
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: φ(108) = 36
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Pirminiai daugikliai
108 = 22·33
Oilerio funkcija
φ(108) = φ(27)·φ(4) = 18·2 = 36
Atsakymas
φ(108) = 36
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: d = 221
Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.