Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.
Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.
Grafų teorija
Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij
Metodas
Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).
Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Dalyba su liekana
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Metodas
Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Uždaviniai
1.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis
Ar (r → q) ∨ (q → r) yra tautologija, prieštara ar kontingencija? Spustelėkite savo atsakymą.
(r → q) ∨ (q → r)
1tautologija
2prieštara
3kontingencija
2.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus
Duotos prielaidos q → r; r → p; ¬p. Kokia išvada iš jų išplaukia? Spustelėkite ją.
q → rr → p¬p
1¬q ∧ p
2¬q
3p
4q
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijosVidutinis
Apklausoje 32 žmonių nustatyta, kad 19 turi nešiojamąjį kompiuterį (L), 24 turi planšetę (T) ir 15 turi abu. Kiek jų yra L, bet nėra T?
|U| = 32|L| = 19|T| = 24|L ∩ T| = 15
|L − T| =
4.Aibės, sąryšiai ir funkcijosSunkus
Kiek yra simetrinių sąryšių aibėje su 4 elementų? Pažymėkite skaičių N.
|X| = 4
N =
5.Grafų teorijaVidutinis
Jungus grafas turi 9 viršūnių ir 15 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?
|V| = 9|E| = 15
k =
6.Grafų teorijaSunkus
Kiek yra 3 ilgio maršrutų iš D į C? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.
M = gretimumo matricaL = 3
N =
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis
Raskite mažiausią teigiamą sveikąjį skaičių x, kur x ≡ 2 (mod 3) ir x ≡ 0 (mod 7).
x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 0 (mod 7)
x =
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus
RSA raktas naudoja pirminius skaičius p = 17 ir q = 31 bei viešąjį rodiklį e = 19. Raskite privatųjį rodiklį d (0 < d < φ(n)).
p = 17q = 31e = 19
d =
3Tirpalai
1.Teiginių logika ir įrodymai
Atsakymas: tautologija
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Teisingumo lentelė eilutė po eilutės
q = 1, r = 1: r → q = 1, q → r = 1, (r → q) ∨ (q → r) = 1
q = 1, r = 0: r → q = 1, q → r = 0, (r → q) ∨ (q → r) = 1
q = 0, r = 1: r → q = 0, q → r = 1, (r → q) ∨ (q → r) = 1
q = 0, r = 0: r → q = 1, q → r = 1, (r → q) ∨ (q → r) = 1
Klasifikuokite
(r → q) ∨ (q → r): 1, 1, 1, 1
1 kiekvienoje eilutėje: tautologija.
Atsakymas
tautologija
2.Teiginių logika ir įrodymai
Atsakymas: ¬q
Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.
Eilutės, kuriose visos prielaidos teisingos
p = 0, q = 0, r = 0: ¬q ∧ p = 0, ¬q = 1, p = 0, q = 0
Išvada
¬q (dvigubas modus tollens)
Atsakymas
¬q
3.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: |L − T| = 4
Aibės ir Veno diagramos: A ∪ B turi elementus, esančius A arba B (ar abiejose), A ∩ B – elementus abiejose, A − B – A elementus, kurių nėra B, o papildinys A′ – viską U, kas nėra A. Veno diagramoje kiekviena aibės išraiška yra sričių sąjunga, todėl ją skaičiuokite sritis po srities. Įtraukos ir pašalinimo principas: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ir |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Sritys
L ∩ T: 15
L − T: 19 − 15 = 4
T − L: 24 − 15 = 9
(L ∪ T)′: 32 − (4 + 9 + 15) = 4
Atsakymas
|L − T| = 4
Atsakymas
|L − T| = 4
4.Aibės, sąryšiai ir funkcijos
Atsakymas: N = 1024
Sąryšiai: aibės X sąryšis R yra sutvarkytųjų porų (x, y) aibė. R yra refleksyvus, kai (x, x) ∈ R su kiekvienu x iš X; simetrinis, kai (x, y) ∈ R visada turi ir (y, x) ∈ R; antisimetrinis, kai (x, y) ir (y, x) abu priklauso R tik jei x = y; ir tranzityvus, kai (x, y) ir (y, z) iš R reikalauja (x, z) ∈ R. Ekvivalentumo sąryšis yra refleksyvus, simetrinis ir tranzityvus ir padalija X į nesikertančias klases.
Suskaičiuokite laisvus pasirinkimus
N = 24 + 6 = 1024
Atsakymas
N = 1024
5.Grafų teorija
Atsakymas: k = 7
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Karkasinio medžio briaunos
9 − 1 = 8
Pašalintinos briaunos
k = 15 − 8 = 7
Atsakymas
k = 7
6.Grafų teorija
Atsakymas: N = 2
Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.
Gretimumo matrica
A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
Dar vienas žingsnis
(M³)DC = 0·1 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2
Atsakymas
N = 2
7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: x = 14
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Pirmoji kongruencija
x = 2 + 3k
Antroji kongruencija
2 + 3k ≡ 0 (mod 7) → 3k ≡ 5 (mod 7)
k ≡ 5·5 ≡ 4 (mod 7)
Rezultatas
x = 2 + 3·4 = 14
x = 14
patikra: 14 mod 3 = 2, 14 mod 7 = 0
Atsakymas
x = 14
8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika
Atsakymas: d = 379
Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.