Diskrečioji matematika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės: 2ⁿ
Implikacija: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Dvi aibės: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Trys aibės: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Skirtumas ir papildinys: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Pošaibių aibė ir Dekarto sandauga: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
k elementų pošaibiai: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Funkcijos A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Sąryšiai n elementų aibėje: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Kompozicija: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Metodas

Nubraižykite Veno diagramą ir sritis po srities nuspręskite, kas priklauso aibės išraiškai.
Skaičiavimo uždaviniuose sritis pildykite nuo centro į išorę: visos aibės, tada poros, tada pavienės aibės, tada išorė.
Patikrai naudokite įtraukos ir pašalinimo principą: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Tikrindami sąryšį, patikrinkite kiekvieną savybę visoms poroms, o jai nepasitvirtinus, pateikite vieną kontrapavyzdį.
Tikrindami funkciją, suskaičiuokite rodykles, patenkančias į kiekvieną aibės B elementą: ne daugiau kaip viena reiškia injekciją, bent viena – siurjekciją.

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Uždaviniai

1.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis

Kiek iš 8 teisingumo lentelės eilučių ((p ∨ r) ↔ (p ∨ q)) ∧ (r ∧ q) yra teisinga? Pažymėkite šį skaičių N.

((p ∨ r) ↔ (p ∨ q)) ∧ (r ∧ q)

N =

2.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus

Kuris teiginys yra ekvivalentus ¬∀x (F(x) → G(x)), kai neigimas perkeltas iki pat vidaus? Spustelėkite jį.

¬∀x (F(x) → G(x))

1∃x (¬F(x) ∧ G(x))
2∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
3∃x (F(x) → ¬G(x))
4∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

3.Aibės, sąryšiai ir funkcijosVidutinis

Apklausoje 53 žmonių nustatyta, kad 24 turi nešiojamąjį kompiuterį (L), 15 planšetę (T) ir 34 išmanųjį laikrodį (W). 7 turi L ir T, 18 turi L ir W, 10 turi T ir W, o 5 turi visus tris. Kiek jų nėra nė vienoje iš trijų aibių?

|U| = 53

|(L ∪ T ∪ W)′| =

4.Aibės, sąryšiai ir funkcijosSunkus

Aibėje X = {1, 2, …, 11} sąryšis x ~ y galioja, kai x ≡ y (mod 5). Kiek elementų yra ekvivalentumo klasėje [11]?

X = {1, …, 11}x ~ y ⟺ 5 | (x − y)

|[11]| =

5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K₇? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K₇

H =

6.Grafų teorijaSunkus

Kiek yra 2 ilgio maršrutų iš E į D? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2

N =

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Raskite 4 atvirkštinį moduliu 55: skaičių x, kur 0 < x < 55 ir 4·x ≡ 1 (mod 55).

a = 4n = 55

4⁻¹ mod 55 =

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus

Kartotiniu kėlimu kvadratu raskite 84¹⁴⁹ mod 89.

a = 84k = 149n = 89

84¹⁴⁹ mod 89 =

3Tirpalai

1.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 2

Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.

Teisingumo lentelė eilutė po eilutės

p = 1, q = 1, r = 1: p ∨ r = 1, p ∨ q = 1, (p ∨ r) ↔ (p ∨ q) = 1, r ∧ q = 1, ((p ∨ r) ↔ (p ∨ q)) ∧ (r ∧ q) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: p ∨ r = 1, p ∨ q = 1, (p ∨ r) ↔ (p ∨ q) = 1, r ∧ q = 0, ((p ∨ r) ↔ (p ∨ q)) ∧ (r ∧ q) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: p ∨ r = 1, p ∨ q = 1, (p ∨ r) ↔ (p ∨ q) = 1, r ∧ q = 0, ((p ∨ r) ↔ (p ∨ q)) ∧ (r ∧ q) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: p ∨ r = 1, p ∨ q = 1, (p ∨ r) ↔ (p ∨ q) = 1, r ∧ q = 0, ((p ∨ r) ↔ (p ∨ q)) ∧ (r ∧ q) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: p ∨ r = 1, p ∨ q = 1, (p ∨ r) ↔ (p ∨ q) = 1, r ∧ q = 1, ((p ∨ r) ↔ (p ∨ q)) ∧ (r ∧ q) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: p ∨ r = 0, p ∨ q = 1, (p ∨ r) ↔ (p ∨ q) = 0, r ∧ q = 0, ((p ∨ r) ↔ (p ∨ q)) ∧ (r ∧ q) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: p ∨ r = 1, p ∨ q = 0, (p ∨ r) ↔ (p ∨ q) = 0, r ∧ q = 0, ((p ∨ r) ↔ (p ∨ q)) ∧ (r ∧ q) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: p ∨ r = 0, p ∨ q = 0, (p ∨ r) ↔ (p ∨ q) = 1, r ∧ q = 0, ((p ∨ r) ↔ (p ∨ q)) ∧ (r ∧ q) = 0

Suskaičiuokite eilutes su reikšme 1

((p ∨ r) ↔ (p ∨ q)) ∧ (r ∧ q): 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0

N = 2

Atsakymas

N = 2

2.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.

Perkelkite neigimą į vidų

¬∀x (F(x) → G(x)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

Atsakymas

∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

Kiti variantai arba palieka kvantorių nepakeistą, arba keičia kvantorių tvarką, arba netinkamai neigia vidinę formulę.

3.Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Atsakymas: |(L ∪ T ∪ W)′| = 10

Aibės ir Veno diagramos: A ∪ B turi elementus, esančius A arba B (ar abiejose), A ∩ B – elementus abiejose, A − B – A elementus, kurių nėra B, o papildinys A′ – viską U, kas nėra A. Veno diagramoje kiekviena aibės išraiška yra sričių sąjunga, todėl ją skaičiuokite sritis po srities. Įtraukos ir pašalinimo principas: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| ir |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Centras ir poros

L ∩ T ∩ W: 5

L ∩ T tik: 7 − 5 = 2

L ∩ W tik: 18 − 5 = 13

T ∩ W tik: 10 − 5 = 5

Pavienės aibės

L tik: 24 − 2 − 13 − 5 = 4

T tik: 15 − 2 − 5 − 5 = 3

W tik: 34 − 13 − 5 − 5 = 11

Atsakymas

|L ∪ T ∪ W| = 43

|(L ∪ T ∪ W)′| = 53 − 43 = 10

Atsakymas

|(L ∪ T ∪ W)′| = 10

4.Aibės, sąryšiai ir funkcijos

Atsakymas: |[11]| = 3

Sąryšiai: aibės X sąryšis R yra sutvarkytųjų porų (x, y) aibė. R yra refleksyvus, kai (x, x) ∈ R su kiekvienu x iš X; simetrinis, kai (x, y) ∈ R visada turi ir (y, x) ∈ R; antisimetrinis, kai (x, y) ir (y, x) abu priklauso R tik jei x = y; ir tranzityvus, kai (x, y) ir (y, z) iš R reikalauja (x, z) ∈ R. Ekvivalentumo sąryšis yra refleksyvus, simetrinis ir tranzityvus ir padalija X į nesikertančias klases.

Klasė

[11] = {1, 6, 11}

|[11]| = 3

Atsakymas

|[11]| = 3

5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 360

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Atsakymas

H = 360

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 1

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. K_n turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)_ED = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

Atsakymas

N = 1

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: 4⁻¹ mod 55 = 14

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Išplėstinis Euklido algoritmas

Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·4 (mod 55).

r = 55, t = 0

r = 4, q = 13, t = 1

r = 3, q = 1, t = −13

r = 1, q = 3, t = 14

Atvirkštinė

1 ≡ 14·4 (mod 55)

x = 14

patikra: 4·14 = 56 = 1·55 + 1

Atsakymas

4⁻¹ mod 55 = 14

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: 84¹⁴⁹ mod 89 = 9

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Dvejetainis rodiklis

149 = 10010101₂ = 128 + 16 + 4 + 1

Kartotinis kėlimas kvadratu

84¹ ≡ 84 (mod 89)

84² ≡ 25 (mod 89)

84⁴ ≡ 2 (mod 89)

84⁸ ≡ 4 (mod 89)

84¹⁶ ≡ 16 (mod 89)

84³² ≡ 78 (mod 89)

84⁶⁴ ≡ 32 (mod 89)

84¹²⁸ ≡ 45 (mod 89)

Sudauginkite reikalingus laipsnius

84¹⁴⁹ ≡ 84·2·16·45 ≡ 9 (mod 89)

Atsakymas

84¹⁴⁹ mod 89 = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics