Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Testo jautrumas yra 80 %, o specifiškumas 95 %. Raskite neigiamą tikėtinumo santykį LR−. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
Se = 80%Sp = 95%
LR− =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Patikros testo jautrumas yra 81 %, o specifiškumas 91 %. Jis naudojamas populiacijoje, kurioje paplitimas yra 15 %. Raskite teigiamą prognostinę vertę PPV procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 108?
μ = 100σ = 8x = 108
P =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
12 elementų imties vidurkis – 47,5, standartinis nuokrypis s = 13. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 12x̄ = 47,5s = 1399%t(11) = 3,106
E =
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,02?
p = 0,5E = 0,0290%
n =
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 80; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 10. Atsitiktinės 100 stebėjimų imties vidurkis 82,3. Tikrinkite H₀: μ = 80 prieš H₁: μ ≠ 80. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 80σ = 10n = 100x̄ = 82,3H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
81 matavimų imties vidurkis – 500,2. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 500,2σ = 5n = 8195%
L =
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: LR− = 0,21
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Neigiamas tikėtinumo santykis
LR− = (1 − 0,8)/0,95 = 0,2105 ≈ 0,21
Atsakymas
LR− = 0,21
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: PPV = 61,4 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikrai ir klaidingai teigiami (vienam žmogui)
Se·p = 0,81·0,15 = 0,1215
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,09·0,85 = 0,0765
Teigiama prognostinė vertė
PPV = 0,1215/(0,1215 + 0,0765) = 0,6136 ≈ 61,4%
Atsakymas
PPV = 61,4%
Kuo mažesnis paplitimas, tuo mažesnė to paties testo PPV.
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 16,54
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Atsakymas
P = 0,8413
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 11,66
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Paklaidos riba
E = 3,106·13/√12 = 11,66
Atsakymas
E = 11,66
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1692
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,02² = 1691
Apvalinkite aukštyn
n = 1692
Atsakymas
n = 1692
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,02145
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (82,3 − 80)/1 = 2,3
Uodegos plotas
Φ(2,3) = 0,9893
1 − Φ(2,3) = 0,0107
p reikšmė
p = 2·0,0107 = 0,02145
Atsakymas
p = 0,02145
p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 499,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).