Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Atsitiktinių imčių tyrime 990 pacientų gavo naują gydymą, o 900 gavo kontrolinį gydymą. Lentelėje parodyta, kiek kiekvienoje grupėje buvo: baigtis (nepageidaujamas įvykis, pavyzdžiui, insultas). Raskite įvykio santykinę riziką RR su gydymu. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
gydymas: 82/990kontrolė: 99/900
RR =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Patikros testo jautrumas yra 90 %, o specifiškumas 84 %. Jis naudojamas populiacijoje, kurioje paplitimas yra 20 %. Raskite teigiamą prognostinę vertę PPV procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 30 z įvertį z.
μ = 60σ = 20x = 30
z =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
20 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −2,9, o standartinis nuokrypis 5,3. Raskite vidutinio skirtumo 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 20d̄ = −2,9sd = 5,395%t(19) = 2,093
apatinis rėžis = mmHg
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
16 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 7,9 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 15, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 6,262, o 2,5 % – aukščiau 27,488.
n = 16s = 7,9 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 studentų imties vidutinis rezultatas – 201,7, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,7s = 12n = 25
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 2 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 11. Raskite mažiausią imties dydį n.
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Įvykių dažniai
EER = 82/990 = 0,08283
CER = 99/900 = 0,11
Santykinė rizika
RR = 0,08283/0,11 = 0,753 ≈ 0,75
Atsakymas
RR = 0,75
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: PPV = 58,4 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikrai ir klaidingai teigiami (vienam žmogui)
Se·p = 0,9·0,2 = 0,18
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,16·0,8 = 0,128
Teigiama prognostinė vertė
PPV = 0,18/(0,18 + 0,128) = 0,5844 ≈ 58,4%
Atsakymas
PPV = 58,4%
Kuo mažesnis paplitimas, tuo mažesnė to paties testo PPV.
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 11,85
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 160/5 = 32
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−20)² + 6² + (−1)² + 5² + 10² = 562
Standartinis nuokrypis
s = √(562/4) = 11,85
Atsakymas
s = 11,85
4.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −1,5
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (30 − 60)/20 = −1,5
Atsakymas
z = −1,5
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −5,38 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 19, t = 2,093
Paklaidos riba
E = 2,093·5,3/√20 = 2,48
Intervalas
−2,9 ± 2,48 → [−5,38, −0,4196]
Atsakymas
apatinis rėžis = −5,38 mmHg
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 12,23 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 15·7,9² = 936,2
σ² rėžiai
936,2/27,488 = 34,06
936,2/6,262 = 149,5
σ rėžis
σ = √149,5 = 12,23 µm
Atsakymas
σ = 12,23 µm
σ 95 % intervalas: [5,836, 12,23] µm.
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 0,7083
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 260
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.