Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Kohortoje žmonių grupės buvo stebimos skirtingą laiką (žr. lentelę: žmonių skaičius ir stebėjimo metai kiekvienai). Stebėjimo metu atsirado 42 naujų atvejų. Raskite sergamumo tankį IR 1000 asmenų metų. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
340 × 2,5 metai310 × 3 metai42 nauji atvejai
IR = 1000 asmenų metų
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Gydymas santykiškai sumažina įvykio riziką 33 % (RRR = 33 %). Pacientų grupėje rizika be gydymo (CER) yra 36 % per penkerius metus. Raskite reikalingą gydyti skaičių NNT penkeriems metams, kad būtų išvengta vieno įvykio. Apvalinkite aukštyn iki sveikojo pacientų skaičiaus.
15 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 3 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 14, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 5,629, o 2,5 % – aukščiau 26,119.
n = 15s = 3 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 49, standartinis nuokrypis 5. 2 grupė: 11 studentų, vidutinis rezultatas 41,9, standartinis nuokrypis 6. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 5x̄₁ = 49s₁ = 5n₂ = 11x̄₂ = 41,9s₂ = 6
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 500 prieš H₁: μ > 500 atliekamas, kai α = 0,10, su 64 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 12. Iš tikrųjų vidurkis lygus 501,8. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.
μ₀ = 500μ = 501,8σ = 12n = 64α = 0,10
β = %
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: IR = 23,6 1000 asmenų metų
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Asmenų metai
PY = 340·2,5 + 310·3 = 1780
Sergamumo tankis
IR = 42/1780·1000 = 23,6 1000 asmenų metų
Atsakymas
IR = 23,6 1000 asmenų metų
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: NNT = 9
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Absoliutus rizikos sumažėjimas
ARR = 0,36·0,33 = 0,1188
Reikalingas gydyti skaičius (NNT)
NNT = 1/0,1188 = 8,418 → 9
Atsakymas
NNT = 9
Tas pats santykinis poveikis duoda mažesnį NNT, kai pradinė rizika didesnė.
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,06
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 3,335 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 50 − 44,5 = 5,5
Standartinė paklaida
SE = √(5²/50 + 19²/100) = 2,027
Paklaidos riba
E = 1,645·2,027 = 3,335
Atsakymas
E = 3,335 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 4,731 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 14·3² = 126
σ² rėžiai
126/26,119 = 4,824
126/5,629 = 22,38
σ rėžis
σ = √22,38 = 4,731 µm
Atsakymas
σ = 4,731 µm
σ 95 % intervalas: [2,196, 4,731] µm.
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,296
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (4·5² + 10·6²)/14 = 32,86
sp = 5,732
Standartinė paklaida
SE = 5,732·√(1/5 + 1/11) = 3,092
Testo statistika
t = (49 − 41,9)/3,092 = 2,296
Atsakymas
t = 2,296
Kai df = 14, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,145; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: β = 53,27 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).