Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Tyrime naujas testas buvo palygintas su etaloniniu standartu (žr. 2 × 2 lentelę). Raskite neigiamą tikėtinumo santykį LR−. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
a = 117b = 306c = 63d = 1304
LR− =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Paciento prieštestinė ligos tikimybė yra 20 %. Testas, kurio jautrumas 61 %, o specifiškumas 78 %, pasirodo neigiama. Raskite poštestinę ligos tikimybę p′ procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 42?
μ = 60σ = 15x = 42
P =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
6 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 1,7, o standartinis nuokrypis 1,2. Raskite vidutinio skirtumo 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 6d̄ = 1,7sd = 1,295%t(5) = 2,571
apatinis rėžis = mmHg
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?
σ = 15E = 2,599%
n =
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 120; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 4. Atsitiktinės 64 stebėjimų imties vidurkis 119,3. Tikrinkite H₀: μ = 120 prieš H₁: μ ≠ 120. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 120σ = 4n = 64x̄ = 119,3H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 2,5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 4. Raskite mažiausią imties dydį n.
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Jautrumas ir specifiškumas
Se = 117/180 = 0,65
Sp = 1304/1610 = 0,8099
Neigiamas tikėtinumo santykis
LR− = (1 − 0,65)/0,8099 = 0,4321 ≈ 0,43
Atsakymas
LR− = 0,43
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: p′ = 11,1 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikėtinumo santykis
LR− = (1 − 0,61)/0,78 = 0,5
Prieštestiniai šansai
0,2/(1 − 0,2) = 0,25
Poštestiniai šansai
0,25·0,5 = 0,125
Poštestinė tikimybė
p′ = 0,125/(1 + 0,125) = 0,1111 ≈ 11,1%
Atsakymas
p′ = 11,1%
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,54
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Atsakymas
P = 0,8849
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 0,4405 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 5, t = 2,571
Paklaidos riba
E = 2,571·1,2/√6 = 1,26
Intervalas
1,7 ± 1,26 → [0,4405, 2,96]
Atsakymas
apatinis rėžis = 0,4405 mmHg
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 239
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·15/2,5)² = 238,9
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 239
Atsakymas
n = 239
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,1615
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 4/√64 = 0,5
z = (119,3 − 120)/0,5 = −1,4
Uodegos plotas
Φ(1,4) = 0,9192
1 − Φ(1,4) = 0,0808
p reikšmė
p = 2·0,0808 = 0,1615
Atsakymas
p = 0,1615
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 41
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.