Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Atvejo ir kontrolės tyrime lyginami 60 pacientų su liga (atvejai) ir 760 žmonių be jos (kontrolės). Lentelėje parodyta, kiek kiekvienoje grupėje buvo paveikta rizikos veiksnio. Raskite šansų santykį OR paveikimui. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
a = 25b = 448c = 35d = 312
OR =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Patikros testo jautrumas yra 70 %, o specifiškumas 96 %. Jis naudojamas populiacijoje, kurioje paplitimas yra 20 %. Raskite teigiamą prognostinę vertę PPV procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 112?
μ = 100σ = 20x = 112
P =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 3,5. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 900 stebėjimų?
95%n₁ = 100E₁ = 3,5n₂ = 900
E₂ =
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
16 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 9,9 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 15, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 6,262, o 2,5 % – aukščiau 27,488.
n = 16s = 9,9 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 100; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 10. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 101,68. Tikrinkite H₀: μ = 100 prieš H₁: μ > 100. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 100σ = 10n = 25x̄ = 101,68H₁: μ > μ₀
p =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 48 iš 120 pacientų, gydytų A būdu, ir 141 iš 300 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 48n₁ = 120x₂ = 141n₂ = 300
z =
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: OR = 0,5
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Paveikimo šansai
atvejai: 25/35 = 0,7143
kontrolės: 448/312 = 1,436
Šansų santykis
OR = (25·312)/(448·35) = 0,4974 ≈ 0,5
Atsakymas
OR = 0,5
OR mažesnis nei 1: paveikimas rečiau pasitaiko tarp atvejų, o tai rodo apsauginį poveikį.
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: PPV = 81,4 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikrai ir klaidingai teigiami (vienam žmogui)
Se·p = 0,7·0,2 = 0,14
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,04·0,8 = 0,032
Teigiama prognostinė vertė
PPV = 0,14/(0,14 + 0,032) = 0,814 ≈ 81,4%
Atsakymas
PPV = 81,4%
Kuo mažesnis paplitimas, tuo mažesnė to paties testo PPV.
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,39
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,6
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Atsakymas
P = 0,7257
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 1,167
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/900) = 0,3333
Nauja paklaidos riba
E₂ = 3,5·0,3333 = 1,167
Atsakymas
E₂ = 1,167
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 7,313 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 15·9,9² = 1470
σ² rėžiai
1470/27,488 = 53,48
1470/6,262 = 234,8
σ rėžis
σ = √53,48 = 7,313 µm
Atsakymas
σ = 7,313 µm
σ 95 % intervalas: [7,313, 15,32] µm.
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,2005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 10/√25 = 2
z = (101,68 − 100)/2 = 0,84
Uodegos plotas
Φ(0,84) = 0,7995
1 − Φ(0,84) = 0,2005
p reikšmė
p = 0,2005
Atsakymas
p = 0,2005
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −1,303
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.