Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Testo jautrumas yra 76 %, o specifiškumas 76 %. Raskite teigiamą tikėtinumo santykį LR+. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
Se = 76%Sp = 76%
LR+ =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Paciento prieštestinė ligos tikimybė yra 15 %. Testas, kurio jautrumas 98 %, o specifiškumas 64 %, pasirodo neigiama. Raskite poštestinę ligos tikimybę p′ procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,4. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,03?
p ≈ 0,4E = 0,0390%
n =
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 80; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 24. Atsitiktinės 144 stebėjimų imties vidurkis 75,16. Tikrinkite H₀: μ = 80 prieš H₁: μ < 80. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 80σ = 24n = 144x̄ = 75,16H₁: μ < μ₀
p =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 200 prieš H₁: μ < 200 atliekamas, kai α = 0.01, su 100 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 30. Iš tikrųjų vidurkis lygus 192.8. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 200μ = 192,8σ = 30n = 100α = 0,01
1 − β = %
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: LR+ = 3,17
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Teigiamas tikėtinumo santykis
LR+ = 0,76/(1 − 0,76) = 3,167 ≈ 3,17
Atsakymas
LR+ = 3,17
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: p′ = 0,5 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikėtinumo santykis
LR− = (1 − 0,98)/0,64 = 0,03125
Prieštestiniai šansai
0,15/(1 − 0,15) = 0,1765
Poštestiniai šansai
0,1765·0,03125 = 0,005515
Poštestinė tikimybė
p′ = 0,005515/(1 + 0,005515) = 0,005484 ≈ 0,5%
Atsakymas
p′ = 0,5%
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 17,29
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (90 − 50)/20 = 2
Atsakymas
z = 2
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 105,6
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 8, t = 3,355
Paklaidos riba
E = 3,355·12/√9 = 13,42
Intervalas
119 ± 13,42 → [105,6, 132,4]
Atsakymas
apatinis rėžis = 105,6
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 722
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,645²·0,4·0,6/0,03² = 721,6
Apvalinkite aukštyn
n = 722
Atsakymas
n = 722
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,00776
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 24/√144 = 2
z = (75,16 − 80)/2 = −2,42
Uodegos plotas
Φ(2,42) = 0,9922
1 − Φ(2,42) = 0,0078
p reikšmė
p = 0,00776
Atsakymas
p = 0,00776
p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 52,95 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).