Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Kohortiniame tyrime paveikti žmonės davė 1900 asmenų metų su 23 naujų atvejų, o nepaveikti žmonės 5900 asmenų metų su 142 naujų atvejų. Raskite sergamumo tankių santykį IRR (paveikti ir nepaveikti). Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
paveikti: 23/1900 PYnepaveikti: 142/5900 PY
IRR =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Be vaisto 38 % pacientų per metus pasireiškia tam tikras šalutinis poveikis. Vaistas didina šią riziką santykine rizika RR = 1,95. Raskite žalos skaičių NNH: kiek pacientų turi vartoti vaistą metus, kad dar vienam pacientui pasireikštų šalutinis poveikis? Apvalinkite aukštyn iki sveikojo pacientų skaičiaus.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 40?
μ = 70σ = 15x = 40
P =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 7,9. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 16 stebėjimų?
99%n₁ = 64E₁ = 7,9n₂ = 16
E₂ =
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
16 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 4,1 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 15, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 6,262, o 2,5 % – aukščiau 27,488.
n = 16s = 4,1 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 11 studentų, vidutinis rezultatas 79, standartinis nuokrypis 12. 2 grupė: 15 studentų, vidutinis rezultatas 92,4, standartinis nuokrypis 7,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 11x̄₁ = 79s₁ = 12n₂ = 15x̄₂ = 92,4s₂ = 7,5
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2? Standartinis nuokrypis – 12. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 12E = 290%
n =
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: IRR = 0,5
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Sergamumo tankiai
paveikti: 23/1900 = 12,11 1000 asmenų metų
nepaveikti: 142/5900 = 24,07 1000 asmenų metų
Dažnių santykis
IRR = 12,11/24,07 = 0,503 ≈ 0,5
Atsakymas
IRR = 0,5
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: NNH = 3
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Rizika su vaistu
0,38·1,95 = 0,741
Absoliutus rizikos padidėjimas
ARI = 0,741 − 0,38 = 0,361
Žalos skaičius (NNH)
NNH = 1/0,361 = 2,77 → 3
Atsakymas
NNH = 3
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 16,96
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 15,8
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/16) = 2
Nauja paklaidos riba
E₂ = 7,9·2 = 15,8
Atsakymas
E₂ = 15,8
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 3,029 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 15·4,1² = 252,1
σ² rėžiai
252,1/27,488 = 9,173
252,1/6,262 = 40,27
σ rėžis
σ = √9,173 = 3,029 µm
Atsakymas
σ = 3,029 µm
σ 95 % intervalas: [3,029, 6,346] µm.
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,504
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (10·12² + 14·7,5²)/24 = 92,81
sp = 9,634
Standartinė paklaida
SE = 9,634·√(1/11 + 1/15) = 3,824
Testo statistika
t = (79 − 92,4)/3,824 = −3,504
Atsakymas
t = −3,504
Kai df = 24, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,064; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 98
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).