Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Testo jautrumas yra 85 %, o specifiškumas 68 %. Raskite teigiamą tikėtinumo santykį LR+. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
Se = 85%Sp = 68%
LR+ =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). 10 000 žmonių tikrinami testu, kurio jautrumas 91 %, o specifiškumas 94 %. Ligos paplitimas yra 25 %. Kiek klaidingai teigiamų rezultatų FP tikimasi?
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Raskite rezultato 425 z įvertį z.
μ = 500σ = 75x = 425
z =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
10 elementų imties vidurkis – 27, standartinis nuokrypis s = 1,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 10x̄ = 27s = 1,595%t(9) = 2,262
E =
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,03?
p = 0,5E = 0,0395%
n =
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 120; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 12. Atsitiktinės 144 stebėjimų imties vidurkis 121,26. Tikrinkite H₀: μ = 120 prieš H₁: μ > 120. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 120σ = 12n = 144x̄ = 121,26H₁: μ > μ₀
p =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 35 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 108 iš 250 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 35n₁ = 100x₂ = 108n₂ = 250
z =
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: LR+ = 2,66
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Teigiamas tikėtinumo santykis
LR+ = 0,85/(1 − 0,68) = 2,656 ≈ 2,66
Atsakymas
LR+ = 2,66
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: FP = 450
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Su liga ir be ligos
10 000·0,25 = 2500
10 000 − 2500 = 7500
Klaidingai teigiami
FP = 7500·0,06 = 450
Atsakymas
FP = 450
Iš 2725 teigiamų tik 2275 serga (PPV 83,5 %).
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 11,52
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (425 − 500)/75 = −1
Atsakymas
z = −1
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 1,073
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Paklaidos riba
E = 2,262·1,5/√10 = 1,073
Atsakymas
E = 1,073
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1068
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,03² = 1067
Apvalinkite aukštyn
n = 1068
Atsakymas
n = 1068
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,1038
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 12/√144 = 1
z = (121,26 − 120)/1 = 1,26
Uodegos plotas
Φ(1,26) = 0,8962
1 − Φ(1,26) = 0,1038
p reikšmė
p = 0,1038
Atsakymas
p = 0,1038
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −1,41
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.