Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Kohortoje žmonių grupės buvo stebimos skirtingą laiką (žr. lentelę: žmonių skaičius ir stebėjimo metai kiekvienai). Stebėjimo metu atsirado 3 naujų atvejų. Raskite sergamumo tankį IR 1000 asmenų metų. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
150 × 0,5 metai50 × 1 metai3 nauji atvejai
IR = 1000 asmenų metų
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Paciento prieštestinė ligos tikimybė yra 50 %. Testas, kurio jautrumas 86 %, o specifiškumas 98 %, pasirodo teigiama. Raskite poštestinę ligos tikimybę p′ procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
25 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 8 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 24, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 12,401, o 2,5 % – aukščiau 39,364.
n = 25s = 8 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
20 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 4,09, o skirtumų standartinis nuokrypis 5,9. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 20d̄ = 4,09sd = 5,9
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 80 prieš H₁: μ > 80 atliekamas, kai α = 0,10, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 6. Iš tikrųjų vidurkis lygus 81,7. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 80μ = 81,7σ = 6n = 36α = 0,10
1 − β = %
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: IR = 24 1000 asmenų metų
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Asmenų metai
PY = 150·0,5 + 50·1 = 125
Sergamumo tankis
IR = 3/125·1000 = 24 1000 asmenų metų
Atsakymas
IR = 24 1000 asmenų metų
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: p′ = 97,7 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikėtinumo santykis
LR+ = 0,86/(1 − 0,98) = 43
Prieštestiniai šansai
0,5/(1 − 0,5) = 1
Poštestiniai šansai
1·43 = 43
Poštestinė tikimybė
p′ = 43/(1 + 43) = 0,9773 ≈ 97,7%
Atsakymas
p′ = 97,7%
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,19
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (67,5 − 60)/5 = 1,5
Atsakymas
z = 1,5
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −1,599 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 102,5 − 101 = 1,5
Standartinė paklaida
SE = √(13²/100 + 9²/100) = 1,581
Paklaidos riba
E = 1,96·1,581 = 3,099
Intervalas
1,5 ± 3,099 → [−1,599, 4,599]
Atsakymas
apatinis rėžis = −1,599 h
Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 6,247 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 24·8² = 1536
σ² rėžiai
1536/39,364 = 39,02
1536/12,401 = 123,9
σ rėžis
σ = √39,02 = 6,247 µm
Atsakymas
σ = 6,247 µm
σ 95 % intervalas: [6,247, 11,13] µm.
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 3,1
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 5,9/√20 = 1,319
Testo statistika
t = 4,09/1,319 = 3,1
Atsakymas
t = 3,1
Kai df = 19, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,093; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 66,2 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).