Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Atvejo ir kontrolės tyrime lyginami 210 pacientų su liga (atvejai) ir 500 žmonių be jos (kontrolės). Lentelėje parodyta, kiek kiekvienoje grupėje buvo paveikta rizikos veiksnio. Raskite šansų santykį OR paveikimui. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
a = 60b = 250c = 150d = 250
OR =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Paciento prieštestinė ligos tikimybė yra 5 %. Testas, kurio jautrumas 82 %, o specifiškumas 88 %, pasirodo teigiama. Raskite poštestinę ligos tikimybę p′ procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,6. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,05?
p ≈ 0,6E = 0,0595%
n =
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 16 studentų, vidutinis rezultatas 57,5, standartinis nuokrypis 7. 2 grupė: 10 studentų, vidutinis rezultatas 63,1, standartinis nuokrypis 5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 16x̄₁ = 57,5s₁ = 7n₂ = 10x̄₂ = 63,1s₂ = 5
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 80 prieš H₁: μ < 80 atliekamas, kai α = 0.05, su 25 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 7.5. Iš tikrųjų vidurkis lygus 75.35. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 80μ = 75,35σ = 7,5n = 25α = 0,05
1 − β = %
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: OR = 0,4
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Paveikimo šansai
atvejai: 60/150 = 0,4
kontrolės: 250/250 = 1
Šansų santykis
OR = (60·250)/(250·150) = 0,4
Atsakymas
OR = 0,4
OR mažesnis nei 1: paveikimas rečiau pasitaiko tarp atvejų, o tai rodo apsauginį poveikį.
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: p′ = 26,5 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikėtinumo santykis
LR+ = 0,82/(1 − 0,88) = 6,833
Prieštestiniai šansai
0,05/(1 − 0,05) = 0,05263
Poštestiniai šansai
0,05263·6,833 = 0,3596
Poštestinė tikimybė
p′ = 0,3596/(1 + 0,3596) = 0,2645 ≈ 26,5%
Atsakymas
p′ = 26,5%
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,01
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (62,5 − 50)/10 = 1,25
Atsakymas
z = 1,25
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 10,93
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 29, t = 1,699
Paklaidos riba
E = 1,699·11,5/√30 = 3,567
Intervalas
14,5 ± 3,567 → [10,93, 18,07]
Atsakymas
apatinis rėžis = 10,93
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 369
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,96²·0,6·0,4/0,05² = 368,8
Apvalinkite aukštyn
n = 369
Atsakymas
n = 369
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,197
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (15·7² + 9·5²)/24 = 40
sp = 6,325
Standartinė paklaida
SE = 6,325·√(1/16 + 1/10) = 2,55
Testo statistika
t = (57,5 − 63,1)/2,55 = −2,197
Atsakymas
t = −2,197
Kai df = 24, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,064; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 92,72 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).