Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Tyrime naujas testas buvo palygintas su etaloniniu standartu (žr. 2 × 2 lentelę). Raskite neigiamą tikėtinumo santykį LR−. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
a = 176b = 37c = 34d = 883
LR− =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Paciento prieštestinė ligos tikimybė yra 30 %. Testas, kurio jautrumas 91 %, o specifiškumas 76 %, pasirodo neigiama. Raskite poštestinę ligos tikimybę p′ procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 56?
μ = 50σ = 10x = 56
P =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 5,1. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 900 stebėjimais, paklaidos riba E₂?
99%n₁ = 100E₁ = 5,195%n₂ = 900
E₂ =
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
21 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 3,9 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 20, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 9,591, o 2,5 % – aukščiau 34,17.
n = 21s = 3,9 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
36 studentų imties vidutinis rezultatas – 191,3, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 191,3s = 20n = 36
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 50 prieš H₁: μ > 50 atliekamas, kai α = 0,10, su 36 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 3. Iš tikrųjų vidurkis lygus 50,9. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 50μ = 50,9σ = 3n = 36α = 0,10
1 − β = %
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: LR− = 0,17
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Jautrumas ir specifiškumas
Se = 176/210 = 0,8381
Sp = 883/920 = 0,9598
Neigiamas tikėtinumo santykis
LR− = (1 − 0,8381)/0,9598 = 0,1687 ≈ 0,17
Atsakymas
LR− = 0,17
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: p′ = 4,8 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikėtinumo santykis
LR− = (1 − 0,91)/0,76 = 0,1184
Prieštestiniai šansai
0,3/(1 − 0,3) = 0,4286
Poštestiniai šansai
0,4286·0,1184 = 0,05075
Poštestinė tikimybė
p′ = 0,05075/(1 + 0,05075) = 0,0483 ≈ 4,8%
Atsakymas
p′ = 4,8%
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,84
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,6
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Atsakymas
P = 0,7257
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 1,293
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(100/900) = 0,2536
Nauja paklaidos riba
E₂ = 5,1·0,2536 = 1,293
Atsakymas
E₂ = 1,293
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 5,632 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 20·3,9² = 304,2
σ² rėžiai
304,2/34,17 = 8,903
304,2/9,591 = 31,72
σ rėžis
σ = √31,72 = 5,632 µm
Atsakymas
σ = 5,632 µm
σ 95 % intervalas: [2,984, 5,632] µm.
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,61
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 69,78 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).