Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Kohortiniame tyrime paveikti žmonės davė 5800 asmenų metų su 435 naujų atvejų, o nepaveikti žmonės 500 asmenų metų su 15 naujų atvejų. Raskite sergamumo tankių santykį IRR (paveikti ir nepaveikti). Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
paveikti: 435/5800 PYnepaveikti: 15/500 PY
IRR =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). 10 000 žmonių tikrinami testu, kurio jautrumas 70 %, o specifiškumas 89 %. Ligos paplitimas yra 19 %. Kiek klaidingai teigiamų rezultatų FP tikimasi?
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 50?
μ = 70σ = 10x = 50
P =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
8 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 6,7, o standartinis nuokrypis 7,3. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n = 8d̄ = 6,7sd = 7,399%t(7) = 3,499
viršutinis rėžis = mmHg
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 7 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 24, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 12,401, o 2,5 % – aukščiau 39,364.
n = 25s = 7 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 40 detalių imties vidutinis ilgis 80 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 3 mm. 2 linija: 30 detalių imties vidurkis 82 mm, žinomas standartinis nuokrypis 4 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
36 matavimų imties vidurkis – 54. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 54σ = 8n = 3695%
U =
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: IRR = 2,5
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Sergamumo tankiai
paveikti: 435/5800 = 75 1000 asmenų metų
nepaveikti: 15/500 = 30 1000 asmenų metų
Dažnių santykis
IRR = 75/30 = 2,5
Atsakymas
IRR = 2,5
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: FP = 891
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Su liga ir be ligos
10 000·0,19 = 1900
10 000 − 1900 = 8100
Klaidingai teigiami
FP = 8100·0,11 = 891
Atsakymas
FP = 891
Iš 2221 teigiamų tik 1330 serga (PPV 59,9 %).
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,32
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 15,73 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 7, t = 3,499
Paklaidos riba
E = 3,499·7,3/√8 = 9,031
Intervalas
6,7 ± 9,031 → [−2,331, 15,73]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 15,73 mmHg
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 5,466 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 24·7² = 1176
σ² rėžiai
1176/39,364 = 29,88
1176/12,401 = 94,83
σ rėžis
σ = √29,88 = 5,466 µm
Atsakymas
σ = 5,466 µm
σ 95 % intervalas: [5,466, 9,738] µm.
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,297
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 56,61
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).