Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Kohortoje žmonių grupės buvo stebimos skirtingą laiką (žr. lentelę: žmonių skaičius ir stebėjimo metai kiekvienai). Stebėjimo metu atsirado 20 naujų atvejų. Raskite sergamumo tankį IR 1000 asmenų metų. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
110 × 4 metai440 × 3 metai20 nauji atvejai
IR = 1000 asmenų metų
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Gydymas santykiškai sumažina įvykio riziką 28 % (RRR = 28 %). Pacientų grupėje rizika be gydymo (CER) yra 29 % per penkerius metus. Raskite reikalingą gydyti skaičių NNT penkeriems metams, kad būtų išvengta vieno įvykio. Apvalinkite aukštyn iki sveikojo pacientų skaičiaus.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 57,5 z įvertį z.
μ = 60σ = 5x = 57,5
z =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 9,2. Kokia yra tų pačių duomenų 95 % intervalo paklaidos riba E₂?
90%n₁ = 64E₁ = 9,295%
E₂ =
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 21. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?
σ = 21E = 495%
n =
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 69, standartinis nuokrypis 10,5. 2 grupė: 10 studentų, vidutinis rezultatas 54,2, standartinis nuokrypis 7,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 6x̄₁ = 69s₁ = 10,5n₂ = 10x̄₂ = 54,2s₂ = 7,5
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 2,5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 11. Raskite mažiausią imties dydį n.
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Asmenų metai
PY = 110·4 + 440·3 = 1760
Sergamumo tankis
IR = 20/1760·1000 = 11,4 1000 asmenų metų
Atsakymas
IR = 11,4 1000 asmenų metų
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: NNT = 13
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Absoliutus rizikos sumažėjimas
ARR = 0,29·0,28 = 0,0812
Reikalingas gydyti skaičius (NNT)
NNT = 1/0,0812 = 12,32 → 13
Atsakymas
NNT = 13
Tas pats santykinis poveikis duoda mažesnį NNT, kai pradinė rizika didesnė.
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 19
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (57,5 − 60)/5 = −0,5
Atsakymas
z = −0,5
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 10,96
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/64) = 1,191
Nauja paklaidos riba
E₂ = 9,2·1,191 = 10,96
Atsakymas
E₂ = 10,96
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 106
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·21/4)² = 105,9
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 106
Atsakymas
n = 106
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 3,298
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (5·10,5² + 9·7,5²)/14 = 75,54
sp = 8,691
Standartinė paklaida
SE = 8,691·√(1/6 + 1/10) = 4,488
Testo statistika
t = (69 − 54,2)/4,488 = 3,298
Atsakymas
t = 3,298
Kai df = 14, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,145; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 306
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.