Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Atvejo ir kontrolės tyrime lyginami 390 pacientų su liga (atvejai) ir 190 žmonių be jos (kontrolės). Lentelėje parodyta, kiek kiekvienoje grupėje buvo paveikta rizikos veiksnio. Raskite šansų santykį OR paveikimui. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
a = 241b = 67c = 149d = 123
OR =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Paciento prieštestinė ligos tikimybė yra 10 %. Testas, kurio jautrumas 97 %, o specifiškumas 94 %, pasirodo teigiama. Raskite poštestinę ligos tikimybę p′ procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 60. Raskite rezultato 410 z įvertį z.
μ = 500σ = 60x = 410
z =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
11 elementų imties vidurkis – 30,5, standartinis nuokrypis s = 3. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 11x̄ = 30,5s = 395%t(10) = 2,228
E =
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
20 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 8,5 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 19, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 8,907, o 2,5 % – aukščiau 32,852.
n = 20s = 8,5 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 7 studentų, vidutinis rezultatas 115, standartinis nuokrypis 11. 2 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 107, standartinis nuokrypis 12. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 7x̄₁ = 115s₁ = 11n₂ = 5x̄₂ = 107s₂ = 12
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
81 matavimų imties vidurkis – 119,8. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 119,8σ = 4n = 8195%
L =
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: OR = 2,97
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Paveikimo šansai
atvejai: 241/149 = 1,617
kontrolės: 67/123 = 0,5447
Šansų santykis
OR = (241·123)/(67·149) = 2,969 ≈ 2,97
Atsakymas
OR = 2,97
OR didesnis nei 1: paveikimas dažnesnis tarp atvejų.
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: p′ = 64,2 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikėtinumo santykis
LR+ = 0,97/(1 − 0,94) = 16,17
Prieštestiniai šansai
0,1/(1 − 0,1) = 0,1111
Poštestiniai šansai
0,1111·16,17 = 1,796
Poštestinė tikimybė
p′ = 1,796/(1 + 1,796) = 0,6424 ≈ 64,2%
Atsakymas
p′ = 64,2%
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 7,772
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (410 − 500)/60 = −1,5
Atsakymas
z = −1,5
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 2,015
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 10, t = 2,228
Paklaidos riba
E = 2,228·3/√11 = 2,015
Atsakymas
E = 2,015
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 6,464 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 19·8,5² = 1373
σ² rėžiai
1373/32,852 = 41,79
1373/8,907 = 154,1
σ rėžis
σ = √41,79 = 6,464 µm
Atsakymas
σ = 6,464 µm
σ 95 % intervalas: [6,464, 12,41] µm.
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,197
Hipotezių tikrinimas: testo statistika = (įvertis − reikšmė pagal H₀)/(standartinė paklaida pagal H₀). p reikšmė – tai tikimybė, darant prielaidą, kad H₀ teisinga, gauti statistiką, bent tokią pat kraštutinę kaip stebėtoji: vienos uodegos plotas vienpusei H₁, dvigubas uodegos plotas dvipusei H₁. H₀ atmetama, kai p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (6·11² + 4·12²)/10 = 130,2
sp = 11,41
Standartinė paklaida
SE = 11,41·√(1/7 + 1/5) = 6,681
Testo statistika
t = (115 − 107)/6,681 = 1,197
Atsakymas
t = 1,197
Kai df = 10, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,228; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 118,9
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).