Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Tyrime naujas testas buvo palygintas su etaloniniu standartu (žr. 2 × 2 lentelę). Raskite neigiamą tikėtinumo santykį LR−. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
a = 270b = 232c = 30d = 778
LR− =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Gydymas santykiškai sumažina įvykio riziką 19 % (RRR = 19 %). Pacientų grupėje rizika be gydymo (CER) yra 24 % per penkerius metus. Raskite reikalingą gydyti skaičių NNT penkeriems metams, kad būtų išvengta vieno įvykio. Apvalinkite aukštyn iki sveikojo pacientų skaičiaus.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 45?
μ = 60σ = 15x = 45
P =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 1,4. Kokia yra 90 % intervalo, pagrįsto 256 stebėjimais, paklaidos riba E₂?
95%n₁ = 64E₁ = 1,490%n₂ = 256
E₂ =
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 6 sklypų, vidutinis derlius 65 kg, standartinis nuokrypis 9,5 kg. 2 sklypų grupė: 16 sklypų, vidurkis 63 kg, standartinis nuokrypis 3,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 7 studentų, vidutinis rezultatas 67,5, standartinis nuokrypis 2,5. 2 grupė: 7 studentų, vidutinis rezultatas 63,6, standartinis nuokrypis 9. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 7x̄₁ = 67,5s₁ = 2,5n₂ = 7x̄₂ = 63,6s₂ = 9
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 2 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 18. Raskite mažiausią imties dydį n.
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Jautrumas ir specifiškumas
Se = 270/300 = 0,9
Sp = 778/1010 = 0,7703
Neigiamas tikėtinumo santykis
LR− = (1 − 0,9)/0,7703 = 0,1298 ≈ 0,13
Atsakymas
LR− = 0,13
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: NNT = 22
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Absoliutus rizikos sumažėjimas
ARR = 0,24·0,19 = 0,0456
Reikalingas gydyti skaičius (NNT)
NNT = 1/0,0456 = 21,93 → 22
Atsakymas
NNT = 22
Tas pats santykinis poveikis duoda mažesnį NNT, kai pradinė rizika didesnė.
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 7,335
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 0,5875
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(64/256) = 0,4196
Nauja paklaidos riba
E₂ = 1,4·0,4196 = 0,5875
Atsakymas
E₂ = 0,5875
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 4,653 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (5·9,5² + 15·3,5²)/20 = 31,75
sp = 5,635
Paklaidos riba
E = 1,725·5,635·√(1/6 + 1/16) = 4,653
Atsakymas
E = 4,653 kg
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,105
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (6·2,5² + 6·9²)/12 = 43,63
sp = 6,605
Standartinė paklaida
SE = 6,605·√(1/7 + 1/7) = 3,53
Testo statistika
t = (67,5 − 63,6)/3,53 = 1,105
Atsakymas
t = 1,105
Kai df = 12, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,179; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 694
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.