Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Testo jautrumas yra 72 %, o specifiškumas 62 %. Raskite neigiamą tikėtinumo santykį LR−. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
Se = 72%Sp = 62%
LR− =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Paciento prieštestinė ligos tikimybė yra 30 %. Testas, kurio jautrumas 83 %, o specifiškumas 84 %, pasirodo neigiama. Raskite poštestinę ligos tikimybę p′ procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 74?
μ = 50σ = 12x = 74
P =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 25 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 8,9. Kokia yra tų pačių duomenų 95 % intervalo paklaidos riba E₂?
99%n₁ = 25E₁ = 8,995%
E₂ =
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
20 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 7,7 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 19, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 8,907, o 2,5 % – aukščiau 32,852.
n = 20s = 7,7 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
6 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 5,19, o skirtumų standartinis nuokrypis 5,3. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = 5,19sd = 5,3
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 52 iš 80 pacientų, gydytų A būdu, ir 55 iš 100 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 52n₁ = 80x₂ = 55n₂ = 100
z =
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: LR− = 0,45
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Neigiamas tikėtinumo santykis
LR− = (1 − 0,72)/0,62 = 0,4516 ≈ 0,45
Atsakymas
LR− = 0,45
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: p′ = 8 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikėtinumo santykis
LR− = (1 − 0,83)/0,84 = 0,2024
Prieštestiniai šansai
0,3/(1 − 0,3) = 0,4286
Poštestiniai šansai
0,4286·0,2024 = 0,08673
Poštestinė tikimybė
p′ = 0,08673/(1 + 0,08673) = 0,07981 ≈ 8%
Atsakymas
p′ = 8%
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,61
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 6,772
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(25/25) = 0,7609
Nauja paklaidos riba
E₂ = 8,9·0,7609 = 6,772
Atsakymas
E₂ = 6,772
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 5,856 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 19·7,7² = 1127
σ² rėžiai
1127/32,852 = 34,29
1127/8,907 = 126,5
σ rėžis
σ = √34,29 = 5,856 µm
Atsakymas
σ = 5,856 µm
σ 95 % intervalas: [5,856, 11,25] µm.
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,399
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 5,3/√6 = 2,164
Testo statistika
t = 5,19/2,164 = 2,399
Atsakymas
t = 2,399
Kai df = 5, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,571; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 1,358
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.