Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Tyrime naujas testas buvo palygintas su etaloniniu standartu (žr. 2 × 2 lentelę). Raskite teigiamą tikėtinumo santykį LR+. Apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.
a = 94b = 44c = 26d = 846
LR+ =
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). 10 000 žmonių tikrinami testu, kurio jautrumas 88 %, o specifiškumas 97 %. Ligos paplitimas yra 19 %. Kiek sergančiųjų testas praleidžia (klaidingai neigiami, FN)?
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 166?
μ = 170σ = 8x = 166
P =
5.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 50 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 8,1. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 450 stebėjimais, paklaidos riba E₂?
99%n₁ = 50E₁ = 8,195%n₂ = 450
E₂ =
6.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 39. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 5?
σ = 39E = 599%
n =
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
100 studentų imties vidutinis rezultatas – 199, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 199s = 4n = 100
t =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
64 matavimų imties vidurkis – 501,2. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 501,2σ = 5n = 6495%
U =
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: LR+ = 15,84
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Jautrumas ir specifiškumas
Se = 94/120 = 0,7833
Sp = 846/890 = 0,9506
Teigiamas tikėtinumo santykis
LR+ = 0,7833/(1 − 0,9506) = 15,84
Atsakymas
LR+ = 15,84
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: FN = 228
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Su liga ir be ligos
10 000·0,19 = 1900
10 000 − 1900 = 8100
Klaidingai neigiami
FN = 1900·0,12 = 228
Atsakymas
FN = 228
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,81
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −0,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Atsakymas
P = 0,6915
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 2,054
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(50/450) = 0,2536
Nauja paklaidos riba
E₂ = 8,1·0,2536 = 2,054
Atsakymas
E₂ = 2,054
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 404
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·39/5)² = 403,7
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 404
Atsakymas
n = 404
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,5
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 502,4
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).