Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n
Metodas
Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
2Uždaviniai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistikaVidutinis
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Atsitiktinių imčių tyrime 610 pacientų gavo naują gydymą, o 730 gavo kontrolinį gydymą. Lentelėje parodyta, kiek kiekvienoje grupėje buvo: baigtis (nepageidaujamas įvykis, pavyzdžiui, insultas). Raskite absoliutų rizikos sumažėjimą ARR procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
gydymas: 95/610kontrolė: 190/730
ARR = %
2.Įrodymais grįstos praktikos statistikaSunkus
Mokomasis pratimas (sugalvotos reikšmės, ne klinikinė rekomendacija). Paciento prieštestinė ligos tikimybė yra 20 %. Testas, kurio jautrumas 92 %, o specifiškumas 77 %, pasirodo neigiama. Raskite poštestinę ligos tikimybę p′ procentais. Apvalinkite iki vieno skaitmens po kablelio.
21 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 6,3 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 20, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 9,591, o 2,5 % – aukščiau 34,17.
n = 21s = 6,3 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 80; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 12,5. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 82,9. Tikrinkite H₀: μ = 80 prieš H₁: μ > 80. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 80σ = 12,5n = 25x̄ = 82,9H₁: μ > μ₀
p =
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
16 matavimų imties vidurkis – 70,1. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 70,1σ = 15n = 1699%
L =
3Tirpalai
1.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: ARR = 10,5 %
Tikėtinumo santykiai ir rizikos matai: LR+ = jautrumas/(1 − specifiškumas), LR− = (1 − jautrumas)/specifiškumas. Tyrime EER ir CER yra įvykių dažniai su gydymu ir be gydymo: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER ir NNT = 1/ARR, apvalinama aukštyn. Atvejo ir kontrolės tyrime galima naudoti tik šansų santykį OR = ad/(bc). Sergamumo tankis = nauji atvejai/asmenų stebėjimo laikas.
Įvykių dažniai
EER = 95/610 = 0,1557
CER = 190/730 = 0,2603
Absoliutus rizikos sumažėjimas
ARR = 0,2603 − 0,1557 = 0,1045 ≈ 10,5%
Atsakymas
ARR = 10,5%
2.Įrodymais grįstos praktikos statistika
Atsakymas: p′ = 2,5 %
Prognostinės vertės priklauso nuo paplitimo: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) ir NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Su tikėtinumo santykiais: prieštestiniai šansai = p/(1 − p), poštestiniai šansai = prieštestiniai šansai × LR, tikimybė = šansai/(1 + šansai). N dydžio populiacijoje tikrai teigiami = N·p·Se, o klaidingai teigiami = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), apvalinama aukštyn.
Tikėtinumo santykis
LR− = (1 − 0,92)/0,77 = 0,1039
Prieštestiniai šansai
0,2/(1 − 0,2) = 0,25
Poštestiniai šansai
0,25·0,1039 = 0,02597
Poštestinė tikimybė
p′ = 0,02597/(1 + 0,02597) = 0,02532 ≈ 2,5%
Atsakymas
p′ = 2,5%
3.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 19,62
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
5.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 59,35
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 8, t = 1,86
Paklaidos riba
E = 1,86·17,5/√9 = 10,85
Intervalas
48,5 ± 10,85 → [37,65, 59,35]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 59,35
6.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 9,098 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 20·6,3² = 793,8
σ² rėžiai
793,8/34,17 = 23,23
793,8/9,591 = 82,77
σ rėžis
σ = √82,77 = 9,098 µm
Atsakymas
σ = 9,098 µm
σ 95 % intervalas: [4,82, 9,098] µm.
7.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,123
Hipotezių tikrinimas: testo statistika = (įvertis − reikšmė pagal H₀)/(standartinė paklaida pagal H₀). p reikšmė – tai tikimybė, darant prielaidą, kad H₀ teisinga, gauti statistiką, bent tokią pat kraštutinę kaip stebėtoji: vienos uodegos plotas vienpusei H₁, dvigubas uodegos plotas dvipusei H₁. H₀ atmetama, kai p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 12,5/√25 = 2,5
z = (82,9 − 80)/2,5 = 1,16
Uodegos plotas
Φ(1,16) = 0,8770
1 − Φ(1,16) = 0,1230
p reikšmė
p = 0,123
Atsakymas
p = 0,123
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
8.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 60,44
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).