Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 125 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1450 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 1200 N, laisvosios – 600 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 600 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 160 mm varantįjį skriemulį, sukamą 720 rpm, su 400 mm skriemuliu; ašys nutolusios 1000 mm. Trinties koeficientas yra 0,35, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 800 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 160 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 400 mmC = 1000 mmμ = 0,35T₁ = 800 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 200 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,8, o tangentinis įtempis negali viršyti 80 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 50 kW esant 300 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 130 MPa, σᵧ = 110 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 130 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 40 mm skersmens velenas perduoda 70 kN ašinę tempimo jėgą kartu su 400 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 40 mmF = 70 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (aliuminis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 20 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 160 MPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 110 GPa, leistinasis įtempis 50 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPavamzdis: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 25 mm poslinkio amplitudės po vieno ciklo seka 9,6 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 25 mmx₁ = 9,6 mmn = 1

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 15 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 5,694 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 9,49 m/s

Galia

P = (1200 − 600)·9,49 = 5694 W = 5,694 kW

Atsakymas

P = 5,694 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 3,077 kW

Apkabos kampas

θ = 2,901 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^1,015 = 2,76, T₂ = 800/2,76 = 289,8 N

Galia

P = (800 − 289,8)·6,032 = 3,077 kW

Atsakymas

P = 3,077 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 27,83 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·80·0,5904)) = 27,83 mm

d_i = 0,8·27,83 = 22,27 mm

Atsakymas

d_o = 27,83 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 23,35 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 54,53 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·50)) = 54,53 mm

Atsakymas

d = 54,53 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 37,98 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·40, 130 − 110) = 75,96°

Kampas elemente

θ_p = 37,98°

Atsakymas

θ_p = 37,98°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 70,15 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = 70000/(π·40²/4) = 70000/1257 = 55,7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 27,85 MPa

R = √(27,85² + 31,83²) = 42,3 MPa

σ₁ = C + R = 70,15 MPa

σ₂ = C − R = −14,44 MPa

Atsakymas

σ₁ = 70,15 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 4093 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 90·1000/314,2 = 286,5 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 286,5/70000 = 0,004093 = 4093 µε

Atsakymas

ε = 4093 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 495,9 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·9346 = 1,091 × 10⁹ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0008, 0,0004545) = 0,0004545 (bronza)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0004545·1,091 × 10⁹ = 495872 N = 495,9 kN

Atsakymas

P_max = 495,9 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 52,99 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Atsakymas

P_cr = 52,99 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 8,567 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/6,25 = 480

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Atsakymas

σ_cr = 8,567 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1506

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/1)·ln(25/9,6) = 0,9571

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9571/√(39,48 + 0,9161) = 0,1506

Atsakymas

ζ = 0,1506

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 35 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 15 = 35 kN/m

Atsakymas

k_eq = 35 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design