Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
N1​ = 60N2​ = 80

15 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 60; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 80. Nuostolių nepaisykite. Raskite išėjimo sukimo momentą T2 varomojo krumpliaračio velene.

P = 15 kWn1 = 1450 rpmN1 = 60N2 = 80η = 100%
T2 = N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
A = 32B = 48C = 15D = 32

1,1 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (32 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (48 dantų). Krumpliaratis C (15 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (32 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 96%. Raskite išėjimo sukimo momentą Tout.

P = 1,1 kWnin = 1440 rpmA = 32B = 48C = 15D = 32ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.Velenų sukimasVidutinis
T = 400 N·md = 25 mmL = 1,2 mφ = ?

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
do​ = ?75 kW, 1450 rpm

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 75 kW esant 1450 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,6, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį do.

P = 75 kWN = 1450 rpmdi/do = 0,6τallow = 40 MPa
do = mm
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 60σy​ = −80τxy​ = 30MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 60 MPa, σᵧ = −80 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θp nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σx = 60 MPaσy = −80 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 80σy​ = 90τxy​ = −20MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 15° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = 80 MPaσy = 90 MPaτxy = −20 MPaθ = 15°
τθ = MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
250 kNØ30110 GPaØ80/50500 mmδ = ?

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 110 GPa). Abu 500 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 250 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 250 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 35 mmVaris1 mØ 20 mmAliuminis2 mP = 55 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 55 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 2 m, aliuminis (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 4 m25 × 100 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
PL = 1,5 md = 30 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σcr pagal Oilerio formulę.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 30 mm
σcr = MPa
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
k = 150 kN/mc = 670 N·s/mm = 12 kg

12 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 150 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 670 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 12 kgk = 150 kN/mc = 670 N·s/m
ζ =
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 20k2​ = 100k3​ = 100m = 5 kg

5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 100 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 100 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 5 kgk1 = 20 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T2 = 131,7 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T2 = 98,79·80/60·1 = 131,7 N·m

Atsakymas

T2 = 131,7 N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: Tout = 21,51 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

nout = 1440·(32/48)·(15/32) = 450 rpm
ωout = 2π·450/60 = 47,12 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

Pout = 1100·0,96² = 1014 W
Tout = Pout/ωout = 1014/47,12 = 21,51 N·m

Atsakymas

Tout = 21,51 N·m
3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 8,964 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·38350) = 0,1565 rad
φ = 0,1565·180/π = 8,964°

Atsakymas

φ = 8,964°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: do = 41,65 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 493,9 N·m = 493929 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·493929/(π·40·0,8704)) = 41,65 mm
di = 0,6·41,65 = 24,99 mm

Atsakymas

do = 41,65 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 39,77 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θp = 11,6 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCσ1​σ2​

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θp = atan2(2·30, 60 − −80) = 23,2°

Kampas elemente

θp = 11,6°

Atsakymas

θp = 11,6°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τθ = −14,82 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

τθ = −−5·0,5 + −20·0,866 = −14,82 MPa

Atsakymas

τθ = −14,82 MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,2613 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·3063 = 4,783 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 250000·500/4,783 × 10⁸ = 0,2613 mm

Atsakymas

δ = 0,2613 mm
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 5,491 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 57,17 MPa
σ2 = 175,1 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ1 = σ1L1/E1 = 57,17·1000/117000 = 0,4886 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 175,1·2000/70000 = 5,002 mm
δ = δ1 + δ2 = 5,491 mm

Atsakymas

δ = 5,491 mm
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 4,016 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/8000² = 4016 N = 4,016 kN

Atsakymas

Pcr = 4,016 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σcr = 17,27 MPa

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/7,5 = 200

Kritinis įtempis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Atsakymas

σcr = 17,27 MPa
11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,2497

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·12) = 2683 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/cc = 670/2683 = 0,2497

Atsakymas

ζ = 0,2497

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 16,62 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k1 ir k2. Ši pora nuosekliai sujungta su k3, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k12 = 20 + 100 = 120 kN/m
keq = 120·100/(120 + 100) = 54,55 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(54545/5) = 104,4 rad/s
fn = 104,4/(2π) = 16,62 Hz

Atsakymas

fn = 16,62 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design