Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 200 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 960 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 400 N, laisvosios – 80 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 400 NT₂ = 80 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

3 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (45 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (60 dantų). Krumpliaratis C (18 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (40 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 96%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 3 kWn_in = 1440 rpmA = 45B = 60C = 18D = 40η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 60 mm, ilgis 1 m; ruožo BC skersmuo 25 mm, ilgis 3 m. Laisvajame gale C veikia 750 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

T = 750 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1 md₂ = 25 mm, L₂ = 3 m

τ_max = MPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 50 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 1,2 m atstumu nuo A ir 3 m atstumu nuo B, pridėtas 250 N·m sukimo momentas. Raskite reakcijos sukimo momentą T_A sienoje A.

d = 50 mmT₀ = 250 N·ma = 1,2 mb = 3 m

T_A = N·m

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 120 MPa, σᵧ = −70 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 40° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 120 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 160 MPa, σᵧ = −40 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 40° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 160 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš žalvaris (skersmuo 50 mm, ilgis 400 mm, E = 100 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,4 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 30 mm, ilgis 400 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 60 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 115 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 115 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 40 mm poslinkio amplitudės po 4 ciklų seka 14,6 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 40 mmx₄ = 14,6 mmn = 4

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 80 kN/m ir k₂ = 20 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 3,217 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 10,05 m/s

Galia

P = (400 − 80)·10,05 = 3217 W = 3,217 kW

Atsakymas

P = 3,217 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 54,32 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 1440·(45/60)·(18/40) = 486 rpm

ω_out = 2π·486/60 = 50,89 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 3000·0,96² = 2765 W

T_out = P_out/ω_out = 2765/50,89 = 54,32 N·m

Atsakymas

T_out = 54,32 N·m

3.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 244,5 MPa

Įtempis kiekviename ruože

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_AB = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

τ_BC = 16·750000/(π·25³) = 244,5 MPa

Atsakymas

τ_max = 244,5 MPa

4.Velenų sukimas

Atsakymas: T_A = 178,6 N·m

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·3/4,2 = 178,6 N·m

T_B = 250·1,2/4,2 = 71,43 N·m

Atsakymas

T_A = 178,6 N·m

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 38,05 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 25 − 95·0,1736 − (−30)·0,9848 = 38,05 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 11,95 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 38,05 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 106,9 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 60 + 100·0,1736 + 30·0,9848 = 106,9 MPa

Atsakymas

σ_θ = 106,9 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 65,45 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2,037 × 10⁻⁶ mm/N

Apkrova

P = 0,4/6,112 × 10⁻⁶ = 65450 N = 65,45 kN

Atsakymas

P = 65,45 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 16,76 MPa

Standumai

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·706,9/400 = 123700 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 60000·123700/626355 = 11850 N

Įtempis

σ₂ = 11850/706,9 = 16,76 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 16,76 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 39,69 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39,69 kN

Atsakymas

P_cr = 39,69 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 60,38 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·115000 = 230000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 60,38 mm

Atsakymas

d = 60,38 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 92,74, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,04007

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/4)·ln(40/14,6) = 0,252

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,252/√(39,48 + 0,06349) = 0,04007

Atsakymas

ζ = 0,04007

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 100 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 20 = 100 kN/m

Atsakymas

k_eq = 100 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design