Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

5,5 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 12; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 16. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 97 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 5,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 12N₂ = 16η = 97%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 120 mm ir 450 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 1000 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 120 mmd₂ = 450 mmC = 1000 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 75 mm, ilgis 2,5 m; ruožo BC skersmuo 50 mm, ilgis 3 m. Laisvajame gale C veikia 250 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

T = 250 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 50 mm, L₂ = 3 m

τ_max = MPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 40 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 1,5 m atstumu nuo A ir 1 m atstumu nuo B, pridėtas 400 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 40 mmT₀ = 400 N·ma = 1,5 mb = 1 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −10 MPa ir σᵧ = −30 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 50 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = 50 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 80 MPa, σᵧ = 110 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 12 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 40 mm, ilgis 200 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 40 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

8 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 20 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 80 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 8 kgk = 20 kN/mc = 80 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 12 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 45,28 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/157,1 = 35,01 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 35,01·16/12·0,97 = 45,28 N·m

Atsakymas

T₂ = 45,28 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 161 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,165) = 9,497°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·9,497 = 161°

Atsakymas

θ = 161°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 10,19 MPa

Įtempis kiekviename ruože

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·75³) = 3,018 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

Atsakymas

τ_max = 10,19 MPa

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 19,1 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1/2,5 = 160 N·m

T_B = 400·1,5/2,5 = 240 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Lemia didesnysis iš dviejų sukimo momentų (skersmuo tas pats).

τ_max = 16·240000/(π·40³) = 19,1 MPa

Atsakymas

τ_max = 19,1 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 69,28 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (−10 + (−30))/2 = −20 MPa

R = σ₁ − C = 50 − (−20) = 70 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 10²) = 69,28 MPa

Atsakymas

τ_xy = 69,28 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 75 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 95 + −15·0 + 20·−1 = 75 MPa

Atsakymas

σ_θ = 75 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 1889 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 221/117000 = 0,001889 = 1889 µε

Atsakymas

ε = 1889 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 24,91 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 120000·1257/200 = 753982 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 40000·753982/963422 = 31304 N

Įtempis

σ₂ = 31304/1257 = 24,91 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 24,91 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 191,9 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/1500² = 191909 N = 191,9 kN

Atsakymas

P_cr = 191,9 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 6,94 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Atsakymas

σ_cr = 6,94 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·8) = 800 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 80/800 = 0,1

Atsakymas

ζ = 0,1

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 14,59 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 12 = 42 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(42000/5) = 91,65 rad/s

f_n = 91,65/(2π) = 14,59 Hz

Atsakymas

f_n = 14,59 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design