Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

3 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 20; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 24. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 96 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T₂ varomojo krumpliaračio velene.

P = 3 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 20N₂ = 24η = 96%

T₂ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 200 mm varantįjį skriemulį, sukamą 1500 rpm, su 300 mm skriemuliu; ašys nutolusios 500 mm. Trinties koeficientas yra 0,25, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 800 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 200 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 300 mmC = 500 mmμ = 0,25T₁ = 800 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 15 kW esant 750 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 15 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 160 MPa, σᵧ = 0 MPa ir τₓᵧ = 50 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 40 MPa, σᵧ = 60 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 10 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 120 MPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 120 GPa, leistinasis įtempis 60 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPavamzdis: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

5 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 4 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,7. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 5 kgk = 4 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 40 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 10 kN/m ir k₂ = 80 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₂ = 11,38 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/303,7 = 9,879 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T₂ = 9,879·24/20·0,96 = 11,38 N·m

Atsakymas

T₂ = 11,38 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 6,543 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Apkabos kampas

θ = 2,941 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,7353 = 2,086, T₂ = 800/2,086 = 383,5 N

Galia

P = (800 − 383,5)·15,71 = 6,543 kW

Atsakymas

P = 6,543 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 0,4669 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(80000·613592) = 0,008149 rad

φ = 0,008149·180/π = 0,4669°

Atsakymas

φ = 0,4669°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 28,97 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Atsakymas

d = 28,97 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 94,34 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((160 − 0)/2)² + 50²) = 94,34 MPa

Atsakymas

τ_max = 94,34 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = −28,66 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −−10·−0,866 + −40·0,5 = −28,66 MPa

Atsakymas

τ_θ = −28,66 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 5985 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 55·1000/78,54 = 700,3 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 700,3/117000 = 0,005985 = 5985 µε

Atsakymas

ε = 5985 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 271,7 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·4006 = 5,435 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0006, 0,0005) = 0,0005 (varis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0005·5,435 × 10⁸ = 271748 N = 271,7 kN

Atsakymas

P_max = 271,7 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 4,205 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

Atsakymas

P_cr = 4,205 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 17,27 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Atsakymas

σ_cr = 17,27 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 3,215 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(4000/5) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,502·√(1 − 0,7²) = 3,215 Hz

Atsakymas

f_d = 3,215 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 5,297 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 10 + 80 = 90 kN/m

k_eq = 90·40/(90 + 40) = 27,69 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(27692/25) = 33,28 rad/s

f_n = 33,28/(2π) = 5,297 Hz

Atsakymas

f_n = 5,297 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design