Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
N1​ = 12N2​ = 25

0,75 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 12; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 25. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 95 %. Raskite sukimo momentą T1 variklio velene.

P = 0,75 kWn1 = 1450 rpmN1 = 12N2 = 25η = 95%
T1 = N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
Ns​ = 16vainikas nejudamasNp​ = 24nc​ = ?

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 16 dantų, o kiekvienas satelitas – 24 dantų. Vainikinis krumpliaratis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1440 rpm greičiu. Raskite vedžiklio sukimosi greitį nc.

Ns = 16Np = 24ns = 1440 rpm
nc = rpm
3.Velenų sukimasVidutinis
T = 750 N·md = 50 mmL = 2 mφ = ?

Pilnaviduris velenas (žalvaris) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
d = 40 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 750 N·mABC2 m0,5 m

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 40 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 2 m atstumu nuo A, veikia 250 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 0,5 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 750 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampo didumą φC laipsniais.

d = 40 mmTB = 250 N·mTC = 750 N·mAB = 2 mBC = 0,5 mG = 39 GPa
φC = °
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σy​ = −40τxy​ = −30MPa

Taške σₓ = 0 MPa, σᵧ = −40 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θs tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = 0 MPaσy = −40 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 110σy​ = −20τxy​ = 30MPa

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 110 MPa, σᵧ = −20 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Medžiagos takumo riba 300 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σx = 110 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPaσY = 300 MPa
n =
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 10 mmVaris3 mP = 90 kN

Raskite strypo (varis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 90 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 25 mmAliuminis2 mØ 20 mmAliuminis1 mP = 100 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σmax strype.

P = 100 kN1 ruožas: Ø25 mm, 2 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1 m, aliuminis (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 4 m25 × 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 125 kNL = 3 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 125 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 125 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
k = 8 kN/mζ = 0,45m = 15 kg

15 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 8 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,45. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.

m = 15 kgk = 8 kN/mζ = 0,45
fd = Hz
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 40k2​ = 60m = 5 kg

5 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 40 kN/m, apatinės k₂ = 60 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 5 kgk1 = 40 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T1 = 4,939 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/151,8 = 4,939 N·m

Atsakymas

T1 = 4,939 N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: nc = 288 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

Nr = Ns + 2·Np = 16 + 2·24 = 64

Viliso lygtis, kai vainikas nejudamas

Imkite nr = 0 ir raskite vedžiklio greitį.

(1440 − nc)/(0 − nc) = −64/16
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1440·16/80 = 288 rpm

Atsakymas

nc = 288 rpm

Vedžiklis sukasi ta pačia kryptimi kaip saulės krumpliaratis.

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 3,591 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(39000·613592) = 0,06268 rad
φ = 0,06268·180/π = 3,591°

Atsakymas

φ = 3,591°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: φC = 8,037 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Vidiniai sukimo momentai

TC kryptis laikoma teigiama.

TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC − TB = 750 − 250 = 500 N·m

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 500000·2000/(39000·251327) = 0,102 rad
φBC = 750000·500/(39000·251327) = 0,03826 rad

Galo C sukimo kampas

φC = 0,102 + 0,03826 = 0,1403 rad → |φC| = 8,037°

Atsakymas

φC = 8,037°
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θs = −73,15 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCτmax​

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θs = −30/36,06 = −0,8321, sin 2θs = −20/36,06 = −0,5547
2θs = atan2(−20, −30) = −146,3°

Kampas elemente

θs = −73,15°
patikra: θs − θp = −73,15 − (−28,15) = −45°

Atsakymas

θs = −73,15°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 2,274

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σY; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Pagrindiniai įtempiai

C = 45 MPa, R = 71,59 MPa
σ1 = 116,6 MPa, σ2 = −26,59 MPa, σ3 = 0

Fon Mizesas

σvM = √(116,6² − 116,6·(−26,59) + (−26,59)²) = 131,9 MPa
n = 300/131,9 = 2,274

Atsakymas

n = 2,274

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 29,38 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 90·1000/78,54 = 1146 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1146/117000 = 0,009794 = 9794 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,009794·3000 mm = 29,38 mm

Atsakymas

δ = 29,38 mm
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σmax = 318,3 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 203,7 MPa
σ2 = 318,3 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σmax = 318,3 MPa

Atsakymas

σmax = 318,3 MPa
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 2,41 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/8000² = 2410 N = 2,41 kN

Atsakymas

Pcr = 2,41 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 79,84 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2,5·125000 = 312500 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 79,84 mm

Atsakymas

d = 79,84 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 105,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fd = 3,282 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ωn = √(8000/15) = 23,09 rad/s
fn = 23,09/(2π) = 3,676 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,676·√(1 − 0,45²) = 3,282 Hz

Atsakymas

fd = 3,282 Hz
12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 11,03 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/40 + 1/60 → keq = 40·60/(40 + 60) = 24 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(24000/5) = 69,28 rad/s
fn = 69,28/(2π) = 11,03 Hz

Atsakymas

fn = 11,03 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design