Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 120 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 2880 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 1200 N, laisvosios – 360 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 120 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 360 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (12 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2900 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (16 dantų). Krumpliaratis C (25 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (60 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 2900 rpmA = 12B = 16C = 25D = 60

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pakopinis pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas taške A. Ruožo AB skersmuo 50 mm, ilgis 1 m; ruožo BC skersmuo 40 mm, ilgis 2,5 m. Laisvajame gale C veikia 500 N·m sukimo momentas. Raskite galo C sukimo kampą φ_C laipsniais.

T = 500 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1 md₂ = 40 mm, L₂ = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas turi perduoti 5 kW esant 1800 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 5 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 10 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 30 mm skersmens velenas perduoda 200 N·m lenkimo momentą kartu su 750 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 30 mmM = 200 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 120 MPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 110 GPa, leistinasis įtempis 80 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPavamzdis: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

2 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 40 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,4. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 2 kgk = 40 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 10 kN/m, apatinės k₂ = 10 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 15,2 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 18,1 m/s

Galia

P = (1200 − 360)·18,1 = 15200 W = 15,2 kW

Atsakymas

P = 15,2 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 906,3 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 2900·12/16 = 2175 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 2175·25/60 = 906,3 rpm

Atsakymas

n_out = 906,3 rpm

bendras perdavimo skaičius = 3,2 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ_C = 12,76 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Poliniai inercijos momentai

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Kiekvieno ruožo sukimo kampas

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 500000·1000/(26000·613592) = 0,03134 rad

φ_BC = 500000·2500/(26000·251327) = 0,1913 rad

Bendras sukimo kampas

φ_C = 0,03134 + 0,1913 = 0,2226 rad = 12,76°

Atsakymas

φ_C = 12,76°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 12,17 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·26526/(π·75)) = 12,17 mm

Atsakymas

d = 12,17 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −67,5 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−20, 10 − 50) = −135°

Kampas elemente

θ_p = −67,5°

Atsakymas

θ_p = −67,5°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 184,1 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·30³) = 75,45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 37,73 MPa

R = √(37,73² + 141,5²) = 146,4 MPa

σ₁ = C + R = 184,1 MPa

σ₂ = C − R = −108,7 MPa

Atsakymas

σ₁ = 184,1 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 1632 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 60·1000/314,2 = 191 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 191/117000 = 0,001632 = 1632 µε

Atsakymas

ε = 1632 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 767,6 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1,279 × 10⁹ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0006, 0,0007273) = 0,0006 (plienas)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0006·1,279 × 10⁹ = 767648 N = 767,6 kN

Atsakymas

P_max = 767,6 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 48,83 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48,83 kN

Atsakymas

P_cr = 48,83 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 69,09 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Atsakymas

σ_cr = 69,09 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 20,63 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(40000/2) = 141,4 rad/s

f_n = 141,4/(2π) = 22,51 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 22,51·√(1 − 0,4²) = 20,63 Hz

Atsakymas

f_d = 20,63 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,516 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/10 → k_eq = 10·10/(10 + 10) = 5 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(5000/20) = 15,81 rad/s

f_n = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Atsakymas

f_n = 2,516 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design