Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
N1​ = 25, m = 4 mm

4 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 25 dantų, kurio modulis 4 mm. Raskite tangentinę jėgą Ft, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 4 kWn = 2900 rpmN1 = 25m = 4 mm
Ft = N
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
Ns​ = 18vainikas nejudamasNp​ = 30nc​ = ?

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 18 dantų, o kiekvienas satelitas – 30 dantų. Vainikinis krumpliaratis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1500 rpm greičiu. Raskite vedžiklio sukimosi greitį nc.

Ns = 18Np = 30ns = 1500 rpm
nc = rpm
3.Velenų sukimasVidutinis
T = 100 N·md = 20 mmL = 0,8 mφ = ?

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 26 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
d = 20 mmT0​ = 200 N·mACBa = 1,5 mb = 2,5 m

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 20 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 1,5 m atstumu nuo A ir 2,5 m atstumu nuo B, pridėtas 200 N·m sukimo momentas. Raskite reakcijos sukimo momentą TA sienoje A.

d = 20 mmT0 = 200 N·ma = 1,5 mb = 2,5 m
TA = N·m
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 60σy​ = −20τxy​ = 20MPa

Taške σₓ = 60 MPa, σᵧ = −20 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θs tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σx = 60 MPaσy = −20 MPaτxy = 20 MPa
θs = °
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​τxy​veleno paviršius

Pilnaviduris 25 mm skersmens velenas perduoda 110 kN ašinę tempimo jėgą kartu su 750 N·m sukimo momentu. Veleno paviršiuje raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τmax.

d = 25 mmF = 110 kNT = 750 N·m
τmax = MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 16 mmVaris2 mP = 50 kN

Raskite strypo (varis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 50 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
20 kN12500 mm200 mmØ40Ø30σ2​ = ?

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 30 mm, ilgis 200 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 20 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ2.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1 md = 40 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 125 kNL = 4 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 125 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 125 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
k = 12 kN/mζ = 0,4m = 80 kg

80 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 12 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,4. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.

m = 80 kgk = 12 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 12k2​ = 15m = 10 kg

10 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 12 kN/m, apatinės k₂ = 15 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 10 kgk1 = 12 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: Ft = 263,4 N

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: Ft = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T = P/ω = 4000/303,7 = 13,17 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 4·25 = 100 mm

Tangentinė jėga

Ft = 2T/d = 2·13,17/0,1 = 263,4 N

Atsakymas

Ft = 263,4 N
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: nc = 281,3 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·30 = 78

Viliso lygtis, kai vainikas nejudamas

Imkite nr = 0 ir raskite vedžiklio greitį.

(1500 − nc)/(0 − nc) = −78/18
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1500·18/96 = 281,3 rpm

Atsakymas

nc = 281,3 rpm

Vedžiklis sukasi ta pačia kryptimi kaip saulės krumpliaratis.

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 11,22 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(26000·15708) = 0,1959 rad
φ = 0,1959·180/π = 11,22°

Atsakymas

φ = 11,22°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: TA = 125 N·m

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik TA + TB = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·2,5/4 = 125 N·m
TB = 200·1,5/4 = 75 N·m

Atsakymas

TA = 125 N·m
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θs = −31,72 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

στxyCτmax​

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θs = 20/44,72 = 0,4472, sin 2θs = −40/44,72 = −0,8944
2θs = atan2(−40, 20) = −63,43°

Kampas elemente

θs = −31,72°
patikra: θs − θp = −31,72 − 13,28 = −45°

Atsakymas

θs = −31,72°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τmax = 268,9 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Įtempiai paviršiuje

σ = F/A = 110000/(π·25²/4) = 110000/490,9 = 224,1 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·25³) = 244,5 MPa
στxyCτmax​

Moro apskritimas

C = σ/2 = 112 MPa
R = √(112² + 244,5²) = 268,9 MPa

Atsakymas

τmax = 268,9 MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 4,251 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 50·1000/201,1 = 248,7 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 248,7/117000 = 0,002125 = 2125 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,002125·2000 mm = 4,251 mm

Atsakymas

δ = 4,251 mm
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ2 = 9,333 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 70000·706,9/200 = 247400 N/mm

2 atkarpos dalis

F2 = 20000·247400/750055 = 6597 N

Įtempis

σ2 = 6597/706,9 = 9,333 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ2 = 9,333 MPa
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 62,01 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Atsakymas

Pcr = 62,01 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 88,71 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 3·125000 = 375000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 88,71 mm

Atsakymas

d = 88,71 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 180,4, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fd = 1,787 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ωn = √(12000/80) = 12,25 rad/s
fn = 12,25/(2π) = 1,949 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

fd = fn·√(1 − ζ²) = 1,949·√(1 − 0,4²) = 1,787 Hz

Atsakymas

fd = 1,787 Hz
12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 4,109 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/12 + 1/15 → keq = 12·15/(12 + 15) = 6,667 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(6667/10) = 25,82 rad/s
fn = 25,82/(2π) = 4,109 Hz

Atsakymas

fn = 4,109 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design