Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

150 mm skriemulys sukasi 960 rpm ir diržu suka 500 mm skriemulį, slydimas 1 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 960 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 500 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1440 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (48 dantų). Krumpliaratis C (20 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (32 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 1440 rpmA = 15B = 48C = 20D = 32

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (aliuminis; išorinis skersmuo 50 mm, vidinis skersmuo 30 mm, ilgis 1 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 750 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas) perduoda 20 kW esant 1450 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa, o santykinis sukimo kampas – 1°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 20 MPa, σᵧ = 30 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 110 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 60° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 110 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (varis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 12 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 70 kN1 ruožas: Ø30 mm, 1 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 1 m, žalvaris (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 60 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 60 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

15 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 40 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,4. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 15 kgk = 40 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 40 kN/m ir k₂ = 100 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 285,1 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

960·150/500 = 288 rpm

Su slydimu

n₂ = 288·0,99 = 285,1 rpm

Atsakymas

n₂ = 285,1 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 281,3 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

n_B = 1440·15/48 = 450 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 450·20/32 = 281,3 rpm

Atsakymas

n_out = 281,3 rpm

bendras perdavimo skaičius = 5,12 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 3,095 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Sukimo kampas

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1000/(26000·534071) = 0,05401 rad

φ = 0,05401·180/π = 3,095°

Atsakymas

φ = 3,095°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 31,31 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 131,7 N·m = 131714 N·mm

d_τ = ∛(16·131714/(π·75)) = 20,76 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·131714/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 31,31 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(20,76, 31,31) = 31,31 mm

Atsakymas

d = 31,31 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 52,02 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·20, 20 − 30) = 104°

Kampas elemente

θ_p = 52,02°

Atsakymas

θ_p = 52,02°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 7,321 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 30 + 80·−0,5 + 20·0,866 = 7,321 MPa

Atsakymas

σ_θ = 7,321 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 7179 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 95·1000/113,1 = 840 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 840/117000 = 0,007179 = 7179 µε

Atsakymas

ε = 7179 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 4,328 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 99,03·1000/117000 = 0,8464 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 348,2·1000/100000 = 3,482 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,328 mm

Atsakymas

δ = 4,328 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 14,06 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4200² = 14062 N = 14,06 kN

Atsakymas

P_cr = 14,06 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 55,77 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 55,77 mm

Atsakymas

d = 55,77 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 179,3, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 7,533 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(40000/15) = 51,64 rad/s

f_n = 51,64/(2π) = 8,219 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 8,219·√(1 − 0,4²) = 7,533 Hz

Atsakymas

f_d = 7,533 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 11,91 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 100 = 140 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(140000/25) = 74,83 rad/s

f_n = 74,83/(2π) = 11,91 Hz

Atsakymas

f_n = 11,91 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design