Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

125 mm skriemulys sukasi 960 rpm ir diržu suka 250 mm skriemulį, slydimas 4 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 960 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 250 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 150 mm ir 300 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 1000 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 150 mmd₂ = 300 mmC = 1000 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 100 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas) perduoda 10 kW esant 1450 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,25°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −40 MPa ir σᵧ = 40 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 95 MPa?

σ_x = −40 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 95 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 140 MPa, σᵧ = 60 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 140 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš varis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 120 GPa). Abu 500 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 150 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 150 kNstrypas: Ø20 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 105 kN1 ruožas: Ø25 mm, 0,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø16 mm, 0,5 m, varis (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 50 mm poslinkio amplitudės po 4 ciklų seka 4 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 50 mmx₄ = 4 mmn = 4

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 60 kN/m, apatinės k₂ = 20 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 460,8 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

960·125/250 = 480 rpm

Su slydimu

n₂ = 480·0,96 = 460,8 rpm

Atsakymas

n₂ = 460,8 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 171,4 °

Diržo kampas

asin(0,075) = 4,301°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·4,301 = 171,4°

Atsakymas

θ = 171,4°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,386 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·79522) = 0,02418 rad

φ = 0,02418·180/π = 1,386°

Atsakymas

φ = 1,386°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 37,23 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 65,86 N·m = 65857 N·mm

d_τ = ∛(16·65857/(π·40)) = 20,32 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·65857/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 37,23 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(20,32, 37,23) = 37,23 mm

Atsakymas

d = 37,23 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 86,17 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (−40 + 40)/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 95 − 0 = 95 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 40²) = 86,17 MPa

Atsakymas

τ_xy = 86,17 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 146 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 100 + 40·0,5 + 30·0,866 = 146 MPa

Atsakymas

σ_θ = 146 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,09744 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5890 = 7,697 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 150000·500/7,697 × 10⁸ = 0,09744 mm

Atsakymas

δ = 0,09744 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 3,301 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 213,9·500/100000 = 1,07 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 522,2·500/117000 = 2,232 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,301 mm

Atsakymas

δ = 3,301 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 79,96 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/3000² = 79962 N = 79,96 kN

Atsakymas

P_cr = 79,96 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 21,93 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Atsakymas

σ_cr = 21,93 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,09999

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/4)·ln(50/4) = 0,6314

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6314/√(39,48 + 0,3987) = 0,09999

Atsakymas

ζ = 0,09999

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,082 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/20 → k_eq = 60·20/(60 + 20) = 15 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(15000/40) = 19,36 rad/s

f_n = 19,36/(2π) = 3,082 Hz

Atsakymas

f_n = 3,082 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design