Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
N1​ = 72N2​ = 80

5,5 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 72; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 80. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 95 %. Raskite išėjimo sukimo momentą T2 varomojo krumpliaračio velene.

P = 5,5 kWn1 = 960 rpmN1 = 72N2 = 80η = 95%
T2 = N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
A = 15B = 40C = 32D = 45

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (40 dantų). Krumpliaratis C (32 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (45 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį nout.

nin = 1450 rpmA = 15B = 40C = 32D = 45
nout = rpm
3.Velenų sukimasVidutinis
do​ = 40, di​ = 20 mmT = 1000 N·mL = 2,5 m

Tuščiaviduris velenas (plienas; išorinis skersmuo 40 mm, vidinis skersmuo 20 mm, ilgis 2,5 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 1000 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 1000 N·mdo = 40 mmdi = 20 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Velenų sukimasSunkus
Td = ?

Pilnaviduris velenas turi perduoti 50 kW esant 1450 aps./min, o tangentinis įtempis negali viršyti 75 MPa. Raskite mažiausią tinkamą skersmenį d.

P = 50 kWN = 1450 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 50σy​ = 90MPaτxy​ = ?

Taške σₓ = 50 MPa ir σᵧ = 90 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τxy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 125 MPa?

σx = 50 MPaσy = 90 MPaσ1 = 125 MPa
τxy = MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 30σy​ = −50τxy​ = 30MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 60° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σx = 30 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
Ø 25 mmŽalvaris1,5 mP = 65 kN

Raskite strypo (žalvaris) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 65 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
Ø 35 mmAliuminis1 mØ 12 mmŽalvaris0,5 mP = 70 kN

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σmax strype.

P = 70 kN1 ruožas: Ø35 mm, 1 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 0,5 m, žalvaris (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 4 m50 × 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 140 kNL = 6 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 140 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 140 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
k = 150 kN/mc = 210 N·s/mm = 12 kg

12 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 150 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 210 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 12 kgk = 150 kN/mc = 210 N·s/m
ζ =
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 15k2​ = 5m = 50 kg

50 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 15 kN/m ir k₂ = 5 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 50 kgk1 = 15 kN/mk2 = 5 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T2 = 57,75 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/100,5 = 54,71 N·m

Išėjimo sukimo momentas

T2 = 54,71·80/72·0,95 = 57,75 N·m

Atsakymas

T2 = 57,75 N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: nout = 386,7 rpm

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Pirmoji pakopa

nB = 1450·15/40 = 543,8 rpm = nC

Antroji pakopa

nout = 543,8·32/45 = 386,7 rpm

Atsakymas

nout = 386,7 rpm

bendras perdavimo skaičius = 3,75 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 7,599 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Sukimo kampas

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 2,5 m = 2500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2500/(80000·235619) = 0,1326 rad
φ = 0,1326·180/π = 7,599°

Atsakymas

φ = 7,599°
4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 28,17 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Skersmuo pagal leistinąjį įtempį

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·329286/(π·75)) = 28,17 mm

Atsakymas

d = 28,17 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τxy = 51,23 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Reikiamas spindulys

C = (50 + 90)/2 = 70 MPa
R = σ1 − C = 125 − 70 = 55 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tangentinis įtempis

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 20²) = 51,23 MPa

Atsakymas

τxy = 51,23 MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σθ = −4,019 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

σθ = −10 + 40·−0,5 + 30·0,866 = −4,019 MPa

Atsakymas

σθ = −4,019 MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 1,986 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 65·1000/490,9 = 132,4 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 132,4/100000 = 0,001324 = 1324 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,001324·1500 mm = 1,986 mm

Atsakymas

δ = 1,986 mm
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σmax = 618,9 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 72,76 MPa
σ2 = 618,9 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σmax = 618,9 MPa

Atsakymas

σmax = 618,9 MPa
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 77,11 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/4000² = 77106 N = 77,11 kN

Atsakymas

Pcr = 77,11 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 196,3 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 196,3 mm

Atsakymas

d = 196,3 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 244,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,07826

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·12) = 2683 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/cc = 210/2683 = 0,07826

Atsakymas

ζ = 0,07826

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 3,183 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k1 + k2.

keq = 15 + 5 = 20 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(20000/50) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3,183 Hz

Atsakymas

fn = 3,183 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design