Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

120 mm skriemulys sukasi 1440 rpm ir diržu suka 500 mm skriemulį, slydimas 1,5 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 500 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 80 mm ir 450 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 1200 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 80 mmd₂ = 450 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 1500 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,75, o tangentinis įtempis negali viršyti 60 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris), kurio skersmuo 25 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 1,2 m atstumu nuo A ir 1,5 m atstumu nuo B, pridėtas 2000 N·m sukimo momentas. Raskite reakcijos sukimo momentą T_A sienoje A.

d = 25 mmT₀ = 2000 N·ma = 1,2 mb = 1,5 m

T_A = N·m

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −10 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 70 MPa ir τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 275 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = 0 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (varis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 110 kNd = 16 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš varis (skersmuo 60 mm, ilgis 300 mm, E = 120 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 50 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 1 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 15 mm poslinkio amplitudės po vieno ciklo seka 9,1 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 15 mmx₁ = 9,1 mmn = 1

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 50 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 15 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 340,4 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1440·120/500 = 345,6 rpm

Su slydimu

n₂ = 345,6·0,985 = 340,4 rpm

Atsakymas

n₂ = 340,4 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 162,3 °

Diržo kampas

asin(0,1542) = 8,868°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·8,868 = 162,3°

Atsakymas

θ = 162,3°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 57,11 mm

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·60·0,6836)) = 57,11 mm

d_i = 0,75·57,11 = 42,83 mm

Atsakymas

d_o = 57,11 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 50,31 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: T_A = 1111 N·m

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·1,5/2,7 = 1111 N·m

T_B = 2000·1,2/2,7 = 888,9 N·m

Atsakymas

T_A = 1111 N·m

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = 58,28 °

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·60, −10 − 50) = 116,6°

Kampas elemente

θ_p = 58,28°

Atsakymas

θ_p = 58,28°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 3,777

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 35 MPa, R = 36,4 MPa

σ₁ = 71,4 MPa, σ₂ = −1,401 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 72,8 MPa

n = 275/72,8 = 3,777

Atsakymas

n = 3,777

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 4,676 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 110·1000/201,1 = 547,1 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 547,1/117000 = 0,004676 = 4676 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,004676·1000 mm = 4,676 mm

Atsakymas

δ = 4,676 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 14,15 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 50000·1,131 × 10⁶/1,414 × 10⁶ = 40000 N

Įtempis

σ₂ = 40000/2827 = 14,15 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 14,15 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 143,9 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2000² = 143932 N = 143,9 kN

Atsakymas

P_cr = 143,9 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 17,27 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Atsakymas

σ_cr = 17,27 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,07929

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/1)·ln(15/9,1) = 0,4998

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,4998/√(39,48 + 0,2498) = 0,07929

Atsakymas

ζ = 0,07929

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,23 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 20 + 15 = 35 kN/m

k_eq = 35·50/(35 + 50) = 20,59 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(20588/50) = 20,29 rad/s

f_n = 20,29/(2π) = 3,23 Hz

Atsakymas

f_n = 3,23 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design