Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai
n1·N1 = n2·N2
Sukimo momentas
T2 = T1·(N2/N1)·η
Galia
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara
bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis
τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas
J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas
φ = TL/(GJ)
Galia
P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

  1. Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
  2. Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
  3. Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
  4. Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras
C = (σx + σy)/2
Spindulys
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Pagrindiniai įtempiai
σ1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Pasvirasis pjūvis
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodas

  1. Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
  2. Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
  4. Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis
σ = F/A
Deformacija
ε = ΔL/L
Huko dėsnis
σ = E·ε
Pailgėjimas
ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija
εT = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Iš statinio įlinkio
ωn = √(g/δst)
Kritinis slopinimas
cc = 2√(km) = 2mωn
Slopinimo koeficientas
ζ = c/cc
Slopinamųjų virpesių dažnis
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės
k = k1 + k2
Nuosekliai sujungtos spyruoklės
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis
N1​ = 40N2​ = 60

4 kW variklis, besisukantis 1500 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 40; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 60. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 97 %. Raskite sukimo momentą T1 variklio velene.

P = 4 kWn1 = 1500 rpmN1 = 40N2 = 60η = 97%
T1 = N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus
d1​ = 100 mmd2​ = 500 mm1440 rpmC = 600 mmT1​ = 1500 NT2​P = ?

Atviras diržas jungia 100 mm varantįjį skriemulį, sukamą 1440 rpm, su 500 mm skriemuliu; ašys nutolusios 600 mm. Trinties koeficientas yra 0,25, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 1500 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d1 = 100 mmn1 = 1440 rpmd2 = 500 mmC = 600 mmμ = 0,25T1 = 1500 N
P = kW
3.Velenų sukimasVidutinis
d = ?T = 200 N·mL = 1,5 m

Pilnavidurį 1,5 m ilgio veleną (aliuminis) veikia 200 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 1°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 200 N·mL = 1,5 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.Velenų sukimasSunkus
d = 60 mmT0​ = 100 N·mACBa = 1 mb = 2,5 m

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 60 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 1 m atstumu nuo A ir 2,5 m atstumu nuo B, pridėtas 100 N·m sukimo momentas. Raskite reakcijos sukimo momentą TA sienoje A.

d = 60 mmT0 = 100 N·ma = 1 mb = 2,5 m
TA = N·m
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis
σx​ = 160σy​ = 100τxy​ = 30MPa

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 100 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa, σz = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τabs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σx = 160 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus
σx​ = 40σy​ = −50τxy​ = 60MPa

Apkrautos detalės taške σₓ = 40 MPa, σᵧ = −50 MPa ir τₓᵧ = 60 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σθ pjūvyje, kurio normalė pasukta 15° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σx = 40 MPaσy = −50 MPaτxy = 60 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis
150 kNØ20100 GPaØ100/50400 mmδ = ?

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 100 GPa). Abu 400 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 150 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 150 kNstrypas: Ø20 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus
30 kN12500 mm200 mmØ30Ø60σ2​ = ?

plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 500 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 60 mm, ilgis 200 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 30 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ2.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1 md = 60 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 85 kNL = 4 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 85 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 85 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (plienas)
d = mm
11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis
k = 25 kN/mζ = 0,45m = 10 kg

10 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 25 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,45. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį fd Hz.

m = 10 kgk = 25 kN/mζ = 0,45
fd = Hz
12.Mechaniniai virpesiaiSunkus
k1​ = 15k2​ = 25m = 40 kg

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 15 kN/m, apatinės k₂ = 25 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.

m = 40 kgk1 = 15 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T1 = 25,46 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/157,1 = 25,46 N·m

Atsakymas

T1 = 25,46 N·m
2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 5,198 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = eμθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Apkabos kampas

θ = 2,462 rad

Laisvosios šakos įtempimas

eμθ = e0,6155 = 1,851, T₂ = 1500/1,851 = 810,6 N

Galia

P = (1500 − 810,6)·7,54 = 5,198 kW

Atsakymas

P = 5,198 kW
3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 50,94 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1,5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·1500/(26000·0,01745) = 661105 mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)1/4 = 50,94 mm

Atsakymas

d = 50,94 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: TA = 71,43 N·m

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τmax = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(do⁴ − di⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik TA + TB = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·2,5/3,5 = 71,43 N·m
TB = 100·1/3,5 = 28,57 N·m

Atsakymas

TA = 71,43 N·m
5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τabs = 86,21 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σmax − σmin)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

σxyCσ1​σ2​

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 130 MPa, R = √(30² + 30²) = 42,43 MPa
σ1 = 172,4 MPa, σ2 = 87,57 MPa, σz = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(84,85, 172,4, 87,57)/2 = 86,21 MPa

Atsakymas

τabs = 86,21 MPa

Čia lemia apskritimas už plokštumos ribų: absoliutusis maksimumas didesnis už maksimumą plokštumoje R.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σθ = 63,97 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis

σθ = −5 + 45·0,866 + 60·0,5 = 63,97 MPa

Atsakymas

σθ = 63,97 MPa
7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,09204 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·5890 = 6,519 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 150000·400/6,519 × 10⁸ = 0,09204 mm

Atsakymas

δ = 0,09204 mm
8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ2 = 8,842 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, Pi = P·EiAi/ΣEA, o σi = Ei·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm
k₂ = 100000·2827/200 = 1,414 × 10⁶ N/mm

2 atkarpos dalis

F2 = 30000·1,414 × 10⁶/1,696 × 10⁶ = 25000 N

Įtempis

σ2 = 25000/2827 = 8,842 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ2 = 8,842 MPa
9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 313,9 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Atsakymas

Pcr = 313,9 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 56,96 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 3·85000 = 255000 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 56,96 mm

Atsakymas

d = 56,96 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 140,4, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fd = 7,106 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ωn = √(25000/10) = 50 rad/s
fn = 50/(2π) = 7,958 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

fd = fn·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,45²) = 7,106 Hz

Atsakymas

fd = 7,106 Hz
12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: fn = 2,437 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/15 + 1/25 → keq = 15·25/(15 + 25) = 9,375 kN/m

Savasis dažnis

ωn = √(9375/40) = 15,31 rad/s
fn = 15,31/(2π) = 2,437 Hz

Atsakymas

fn = 2,437 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design