Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

120 mm skriemulys sukasi 1450 rpm ir diržu suka 315 mm skriemulį, slydimas 2,5 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 100 mm ir 315 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 600 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 100 mmd₂ = 315 mmC = 600 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (plienas), kurio skersmuo 60 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 3 m atstumu nuo A, veikia 2000 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 200 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 60 mmT_B = 2000 N·mT_C = 200 N·mAB = 3 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −60 MPa, σᵧ = 90 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 30 mm skersmens velenas perduoda 750 N·m lenkimo momentą kartu su 500 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią pagrindinį įtempį σ₁.

d = 30 mmM = 750 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 40 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 160 MPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 50 mm, E = 110 GPa, leistinasis įtempis 70 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPavamzdis: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

250 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 50 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,45. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 250 kgk = 50 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 80 kN/m, apatinės k₂ = 30 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 538,6 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1450·120/315 = 552,4 rpm

Su slydimu

n₂ = 552,4·0,975 = 538,6 rpm

Atsakymas

n₂ = 538,6 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 159,4 °

Diržo kampas

asin(0,1792) = 10,32°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·10,32 = 159,4°

Atsakymas

θ = 159,4°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 0,5699 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(80000·251327) = 0,009947 rad

φ = 0,009947·180/π = 0,5699°

Atsakymas

φ = 0,5699°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 42,44 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 2000 = −1800 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 1800 N·m

τ_max = 16·1,8 × 10⁶/(π·60³) = 42,44 MPa

Atsakymas

τ_max = 42,44 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 80,78 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−60 − 90)/2)² + 30²) = 80,78 MPa

Atsakymas

τ_max = 80,78 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ₁ = 311,5 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·30³) = 282,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 141,5 MPa

R = √(141,5² + 94,31²) = 170 MPa

σ₁ = C + R = 311,5 MPa

σ₂ = C − R = −28,56 MPa

Atsakymas

σ₁ = 311,5 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 1203 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/100000 = 0,001203 = 1203 µε

Atsakymas

ε = 1203 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 814,2 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1,279 × 10⁹ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,0008, 0,0006364) = 0,0006364 (bronza)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,0006364·1,279 × 10⁹ = 814172 N = 814,2 kN

Atsakymas

P_max = 814,2 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 22,66 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/2800² = 22660 N = 22,66 kN

Atsakymas

P_cr = 22,66 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 197,4 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Atsakymas

σ_cr = 197,4 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 2,01 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(50000/250) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,45²) = 2,01 Hz

Atsakymas

f_d = 2,01 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,717 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/30 → k_eq = 80·30/(80 + 30) = 21,82 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(21818/40) = 23,35 rad/s

f_n = 23,35/(2π) = 3,717 Hz

Atsakymas

f_n = 3,717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design