Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Sliekas (pradų skaičius 1) sukasi 2900 rpm greičiu ir suka sliekratį su 60 dantų. Raskite sliekračio sukimosi greitį n_w.

z = 1N_w = 60n = 2900 rpm

n_w = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (18 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 960 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (40 dantų). Krumpliaratis C (48 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 345,6 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 960 rpmA = 18B = 40C = 48n_out = 345,6 rpm

N_D =

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 75 kW esant 750 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −80 MPa, σᵧ = 30 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Pilnaviduris 40 mm skersmens velenas perduoda 300 N·m lenkimo momentą kartu su 1500 N·m sukimo momentu. Viršutiniame paviršiuje, kur lenkimo įtempis tempiamasis ir didžiausias, raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

d = 40 mmM = 300 N·mT = 1500 N·m

τ_max = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Strypą sudaro plienas atkarpa (skersmuo 20 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa), galais sujungta su atkarpa iš varis (skersmuo 60 mm, ilgis 300 mm, E = 120 GPa). Vienas galas įtvirtintas, kitas traukiamas. Raskite ašinę apkrovą P, kuri jį iš viso pailgina 0,5 mm.

1 atkarpa: plienas, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: varis, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa, leistinasis įtempis 250 MPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 80 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 70 GPa, leistinasis įtempis 80 MPa). Jie kartu gniuždomi tarp standžių plokščių. Raskite didžiausią apkrovą P_max.

strypas: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPavamzdis: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 35 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 35 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

2 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 40 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,4. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 2 kgk = 40 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 60 kN/m, apatinės k₂ = 5 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_w = 48,33 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 2900·1/60 = 48,33 rpm

Atsakymas

n_w = 48,33 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 60

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 960·18/40 = 432 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 48·432/345,6 = 60

Atsakymas

N_D = 60

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 21,92 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(26000·251327) = 0,3826 rad

φ = 0,3826·180/π = 21,92°

Atsakymas

φ = 21,92°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 100 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·20/190984 = 100 MPa

Atsakymas

τ_max = 100 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 68,01 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−80 − 30)/2)² + 40²) = 68,01 MPa

Atsakymas

τ_max = 68,01 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 121,7 MPa

Įtempiai paviršiuje

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·40³) = 47,75 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119,4 MPa

Moro apskritimas

C = σ/2 = 23,87 MPa

R = √(23,87² + 119,4²) = 121,7 MPa

Atsakymas

τ_max = 121,7 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P = 88,36 kN

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Lankstumai

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8,842 × 10⁻⁷ mm/N

Apkrova

P = 0,5/5,659 × 10⁻⁶ = 88357 N = 88,36 kN

Atsakymas

P = 88,36 kN

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: P_max = 337,5 kN

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·2199 = 2,953 × 10⁸ N

Lemiančioji deformacija

ε = min(0,00125, 0,001143) = 0,001143 (aliuminis)

Didžiausia apkrova

P_max = 0,001143·2,953 × 10⁸ = 337497 N = 337,5 kN

Atsakymas

P_max = 337,5 kN

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 6,747 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/8000² = 6747 N = 6,747 kN

Atsakymas

P_cr = 6,747 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 65,19 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·35000 = 70000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 65,19 mm

Atsakymas

d = 65,19 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 306,8, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 20,63 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(40000/2) = 141,4 rad/s

f_n = 141,4/(2π) = 22,51 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 22,51·√(1 − 0,4²) = 20,63 Hz

Atsakymas

f_d = 20,63 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 4,615 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/5 → k_eq = 60·5/(60 + 5) = 4,615 kN/m

Atsakymas

k_eq = 4,615 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design