Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

200 mm skriemulys sukasi 1440 rpm ir diržu suka 300 mm skriemulį, slydimas 1,5 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 300 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 100 mm varantįjį skriemulį, sukamą 960 rpm, su 300 mm skriemuliu; ašys nutolusios 800 mm. Trinties koeficientas yra 0,25, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 1500 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 100 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 300 mmC = 800 mmμ = 0,25T₁ = 1500 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 40 mm, įtvirtintas taške A. Taške B, 2,5 m atstumu nuo A, veikia 250 N·m sukimo momentas, o laisvajame gale C, dar 1,2 m toliau, veikia priešinga kryptimi nukreiptas 750 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 750 N·mAB = 2,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −40 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_s tarp −90° ir 90° nuo x ašies iki plokštumos, kurioje tangentinis įtempis pasiekia didžiausią teigiamą vertę +R, normalės (tangentinis įtempis teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −40 MPa ir τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 275 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = 60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 30 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš žalvaris (išorinis skersmuo 120 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 100 GPa). Abu 300 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 150 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 150 kNstrypas: Ø30 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 300 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš žalvaris (skersmuo 30 mm, ilgis 300 mm, E = 100 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 50 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: žalvaris, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 130 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 130 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

100 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 200 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,35. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 100 kgk = 200 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 40 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 40 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 100 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 945,6 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1440·200/300 = 960 rpm

Su slydimu

n₂ = 960·0,985 = 945,6 rpm

Atsakymas

n₂ = 945,6 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 3,88 kW

Apkabos kampas

θ = 2,891 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,7227 = 2,06, T₂ = 1500/2,06 = 728,1 N

Galia

P = (1500 − 728,1)·5,027 = 3,88 kW

Atsakymas

P = 3,88 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,313 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(80000·613592) = 0,02292 rad

φ = 0,02292·180/π = 1,313°

Atsakymas

φ = 1,313°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 59,68 MPa

Vidiniai sukimo momentai

T_C kryptis laikoma teigiama.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 250 = 500 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Ruože su didžiausiu vidiniu sukimo momentu įtempis didžiausias (skersmuo tas pats).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Atsakymas

τ_max = 59,68 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_s = −7,018 °

Kampas apskritime

Moro apskritime viršutinis taškas (+R) nuo pagrindinio taško σ₁ nutolęs 90°; elemente tai atitinka 45°.

cos 2θ_s = 40/41,23 = 0,9701, sin 2θ_s = −10/41,23 = −0,2425

2θ_s = atan2(−10, 40) = −14,04°

Kampas elemente

θ_s = −7,018°

patikra: θ_s − θ_p = −7,018 − 37,98 = −45°

Atsakymas

θ_s = −7,018°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 2,147

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 10 MPa, R = 64,03 MPa

σ₁ = 74,03 MPa, σ₂ = −54,03 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 128,1 MPa

n = 275/128,1 = 2,147

Atsakymas

n = 2,147

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,04547 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·8482 = 9,896 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 150000·300/9,896 × 10⁸ = 0,04547 mm

Atsakymas

δ = 0,04547 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 29,61 MPa

Standumai

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 100000·706,9/300 = 235619 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 50000·235619/562869 = 20930 N

Įtempis

σ₂ = 20930/706,9 = 29,61 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 29,61 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 731,1 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/1500² = 731082 N = 731,1 kN

Atsakymas

P_cr = 731,1 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 52,41 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 52,41 mm

Atsakymas

d = 52,41 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 114,5, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 6,667 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(200000/100) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,35²) = 6,667 Hz

Atsakymas

f_d = 6,667 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,466 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 20 + 40 = 60 kN/m

k_eq = 60·40/(60 + 40) = 24 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(24000/100) = 15,49 rad/s

f_n = 15,49/(2π) = 2,466 Hz

Atsakymas

f_n = 2,466 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design