Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 200 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 1450 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 500 N, laisvosios – 125 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 500 NT₂ = 125 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (16 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1450 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (20 dantų). Krumpliaratis C (36 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 928 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 1450 rpmA = 16B = 20C = 36n_out = 928 rpm

N_D =

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (žalvaris; išorinis skersmuo 50 mm, vidinis skersmuo 35 mm, ilgis 1,5 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 750 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 50 kW esant 500 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,7, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 50 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = 0 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 50 MPa ir τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 300 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = 140 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (žalvaris) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 120 kN1 ruožas: Ø25 mm, 1 m, žalvaris (E = 100 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 0,5 m, varis (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 50 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 50 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 20 mm poslinkio amplitudės po 3 ciklų seka 7,8 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 20 mmx₃ = 7,8 mmn = 3

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 50 kN/m ir k₂ = 100 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 5,694 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 15,18 m/s

Galia

P = (500 − 125)·15,18 = 5694 W = 5,694 kW

Atsakymas

P = 5,694 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 45

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 1450·16/20 = 1160 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 36·1160/928 = 45

Atsakymas

N_D = 45

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 3,545 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Sukimo kampas

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1500/(39000·466269) = 0,06187 rad

φ = 0,06187·180/π = 3,545°

Atsakymas

φ = 3,545°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 54,29 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·40·0,7599)) = 54,29 mm

d_i = 0,7·54,29 = 38 mm

Atsakymas

d_o = 54,29 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 49,54 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 31,62 MPa

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((−20 − 0)/2)² + 30²) = 31,62 MPa

Atsakymas

τ_max = 31,62 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 2,08

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 95 MPa, R = 49,24 MPa

σ₁ = 144,2 MPa, σ₂ = 45,76 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 144,2 MPa

n = 300/144,2 = 2,08

Atsakymas

n = 2,08

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 565,9 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 40·1000/706,9 = 56,59 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 56,59/100000 = 0,0005659 = 565,9 µε

Atsakymas

ε = 565,9 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 1061 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 244,5 MPa

σ₂ = 1061 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 1061 MPa

Atsakymas

σ_max = 1061 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 32,9 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/4000² = 32899 N = 32,9 kN

Atsakymas

P_cr = 32,9 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 72,51 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 72,51 mm

Atsakymas

d = 72,51 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 137,9, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,04989

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/3)·ln(20/7,8) = 0,3139

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3139/√(39,48 + 0,09851) = 0,04989

Atsakymas

ζ = 0,04989

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 150 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 100 = 150 kN/m

Atsakymas

k_eq = 150 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design