Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

200 mm skriemulys sukasi 720 rpm ir diržu suka 500 mm skriemulį, slydimas 1 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 720 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 500 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 125 mm varantįjį skriemulį, sukamą 1440 rpm, su 450 mm skriemuliu; ašys nutolusios 800 mm. Trinties koeficientas yra 0,35, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 1000 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 125 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 450 mmC = 800 mmμ = 0,35T₁ = 1000 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnavidurį 1,5 m ilgio veleną (aliuminis) veikia 1000 N·m sukimo momentas. Sukimo kampas tarp jo galų negali viršyti 0,5°. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį šią sąlygą.

T = 1000 N·mL = 1,5 mG = 26 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 100 kW esant 1000 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 70 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite kampą θ_p nuo x ašies iki didžiausio pagrindinio įtempio krypties, intervale nuo −90° iki 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 160 MPa, σᵧ = 120 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 45° pagal laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 160 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (žalvaris) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 15 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 40 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 50 mm, ilgis 300 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 100 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Ji turi atlaikyti 65 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 65 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

8 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 100 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,5. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 8 kgk = 100 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 10 kN/m, apatinės k₂ = 100 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 285,1 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

720·200/500 = 288 rpm

Su slydimu

n₂ = 288·0,99 = 285,1 rpm

Atsakymas

n₂ = 285,1 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 5,803 kW

Apkabos kampas

θ = 2,732 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,9564 = 2,602, T₂ = 1000/2,602 = 384,3 N

Galia

P = (1000 − 384,3)·9,425 = 5,803 kW

Atsakymas

P = 5,803 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 90,59 mm

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Reikiamas polinis inercijos momentas

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1500/(26000·0,008727) = 6,611 × 10⁶ mm⁴

Skersmuo

d = (32J/π)^1/4 = 90,59 mm

Atsakymas

d = 90,59 mm

Praktikoje suapvalintumėte iki artimiausio didesnio standartinio dydžio.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 128,7 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·20/148384 = 128,7 MPa

Atsakymas

τ_max = 128,7 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: θ_p = −49,73 °

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Kampas apskritime

Moro apskritime taškas x yra kampu 2θp nuo σ ašies; ketvirtis priklauso nuo σₓ − σᵧ ir τₓᵧ ženklų.

2θ_p = atan2(2·−30, 70 − 80) = −99,46°

Kampas elemente

θ_p = −49,73°

Atsakymas

θ_p = −49,73°

Teigiami kampai matuojami prieš laikrodžio rodyklę.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 170 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 140 + 20·0 + −30·−1 = 170 MPa

Atsakymas

σ_θ = 170 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,4775 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 15·1000/314,2 = 47,75 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for žalvaris = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 47,75/100000 = 0,0004775 = 477,5 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,0004775·1000 mm = 0,4775 mm

Atsakymas

δ = 0,4775 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 21,48 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 100000·458149/1,086 × 10⁶ = 42169 N

Įtempis

σ₂ = 42169/1963 = 21,48 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 21,48 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 34,88 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34,88 kN

Atsakymas

P_cr = 34,88 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 41,68 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 41,68 mm

Atsakymas

d = 41,68 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 143,9, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 15,41 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(100000/8) = 111,8 rad/s

f_n = 111,8/(2π) = 17,79 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 17,79·√(1 − 0,5²) = 15,41 Hz

Atsakymas

f_d = 15,41 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 9,091 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/100 → k_eq = 10·100/(10 + 100) = 9,091 kN/m

Atsakymas

k_eq = 9,091 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design