Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Du lygiagretūs velenai yra 105 mm atstumu vienas nuo kito. Juos reikia sujungti cilindrinių tiesiadančių krumpliaračių pora, kurios modulis 2,5 mm, o greičio sumažinimas 2,5 : 1. Kiek dantų N₂ turi turėti krumpliaratis?

a = 105 mmm = 2,5 mmi = 2,5

N₂ =

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 16 dantų, o kiekvienas satelitas – 20 dantų. Vedžiklis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1500 rpm greičiu. Raskite vainikinio krumpliaračio sukimosi greitį n_r (didumą).

N_s = 16N_p = 20n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (plienas) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis) perduoda 50 kW esant 750 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 50 MPa, o santykinis sukimo kampas – 1°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = −20 MPa, σᵧ = 110 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 20° pagal laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = −20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = 100 MPa, σᵧ = 60 MPa ir τₓᵧ = 20 MPa (tempimas teigiamas). Raskite normalinį įtempį σ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 30° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies.

σ_x = 100 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (plienas) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite bendrą pailgėjimą δ.

P = 95 kN1 ruožas: Ø30 mm, 2 m, plienas (E = 200 GPa)2 ruožas: Ø12 mm, 1 m, žalvaris (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 145 kN su 2 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 145 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 50 mm poslinkio amplitudės po 4 ciklų seka 1,1 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 50 mmx₄ = 1,1 mmn = 4

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 80 kN/m, apatinės k₂ = 50 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N₂ = 60

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: F_t = 2T/d.

Bendras dantų skaičius

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·105/2,5 = 84

Padalykite pagal perdavimo skaičių

N₁ = 84/(1 + 2,5) = 24

N₂ = 2,5·24 = 60

Atsakymas

N₂ = 60

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_r = 428,6 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·20 = 56

Viliso lygtis, kai vedžiklis nejudamas

Kai n_c = 0, saulės krumpliaratis per satelitus suka vainiką, o satelitai veikia kaip tarpiniai krumpliaračiai.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·16/56 = −428,6 rpm

|n_r| = 428,6 rpm

Atsakymas

n_r = 428,6 rpm

Vainikas sukasi priešinga kryptimi nei saulės krumpliaratis.

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 4,503 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·79522) = 0,0786 rad

φ = 0,0786·180/π = 4,503°

Atsakymas

φ = 4,503°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 61,48 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·50)) = 40,18 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 61,48 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(40,18, 61,48) = 61,48 mm

Atsakymas

d = 61,48 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 107,6 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 45 − (−65)·0,766 − 20·(−0,6428) = 107,6 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = −17,65 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 107,6 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_θ = 107,3 MPa

Transformacijos lygtis

σ_θ = 80 + 20·0,5 + 20·0,866 = 107,3 MPa

Atsakymas

σ_θ = 107,3 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 3820 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 60·1000/78,54 = 763,9 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for plienas = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 763,9/200000 = 0,00382 = 3820 µε

Atsakymas

ε = 3820 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 9,744 mm

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 134,4 MPa

σ₂ = 840 MPa

Sudėkite ruožų pailgėjimus

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 134,4·2000/200000 = 1,344 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·1000/100000 = 8,4 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,744 mm

Atsakymas

δ = 9,744 mm

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 5,888 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5,888 kN

Atsakymas

P_cr = 5,888 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 132,5 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 132,5 mm

Atsakymas

d = 132,5 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 181,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1501

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/4)·ln(50/1,1) = 0,9542

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9542/√(39,48 + 0,9105) = 0,1501

Atsakymas

ζ = 0,1501

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 30,77 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/50 → k_eq = 80·50/(80 + 50) = 30,77 kN/m

Atsakymas

k_eq = 30,77 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design