Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

7,5 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 24 dantų, kurio modulis 5 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 7,5 kWn = 1450 rpmN₁ = 24m = 5 mm

F_t = N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 160 mm ir 500 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 1200 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 160 mmd₂ = 500 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Sukimo bandyme pilnaviduris bandinys, kurio skersmuo 15 mm, sukamas 20 N·m sukimo momentu. Abu 400 mm matavimo bazės galai vienas kito atžvilgiu pasisuka 3,55° (medžiaga dar tampri). Raskite medžiagos šlyties modulį G.

T = 20 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 3,55°

G = GPa

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (žalvaris) perduoda 50 kW esant 1450 rpm. Tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa, o santykinis sukimo kampas – 0,5°/m. Raskite mažiausią skersmenį d, tenkinantį abi sąlygas.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 70 MPa ir σᵧ = −50 MPa. Kokio didumo gali būti tangentinis įtempis τ_xy, kol didžiausias pagrindinis įtempis pasieks 130 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 130 MPa

τ_xy = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 30 MPa, σᵧ = −70 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 250 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal Treskos (didžiausio tangentinio įtempio) kriterijų.

σ_x = 30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 20 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš bronza (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 70 mm, E = 110 GPa). Abu 400 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 100 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 100 kNstrypas: Ø20 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 25 kN1 ruožas: Ø35 mm, 2 m, varis (E = 117 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1,5 m, plienas (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

25 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 150 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 1160 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 25 kgk = 150 kN/mc = 1160 N·s/m

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 20 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 10 kN/m ir k₂ = 50 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 823,2 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 5·24 = 120 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·49,39/0,12 = 823,2 N

Atsakymas

F_t = 823,2 N

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 163,7 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,1417) = 8,144°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·8,144 = 163,7°

Atsakymas

θ = 163,7°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: G = 25,98 GPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas ir kampas

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3,55·π/180 = 0,06196 rad

Šlyties modulis

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·400/(4970·0,06196) = 25979 MPa

G = 25,98 GPa

Atsakymas

G = 25,98 GPa

Palyginimui: plienas ≈ 80 GPa, žalvaris ≈ 39 GPa, aliuminis ≈ 26 GPa.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d = 56,03 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Skersmuo pagal stiprumą

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm

d_τ = ∛(16·329286/(π·40)) = 34,74 mm

Skersmuo pagal standumą

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·329286/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 56,03 mm

Lemiamasis skersmuo

Turi būti tenkinamos abi sąlygos, todėl lemia didesnis skersmuo.

d = max(34,74, 56,03) = 56,03 mm

Atsakymas

d = 56,03 mm

Čia lemia standumas.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_xy = 103,9 MPa

Reikiamas spindulys

C = (70 + (−50))/2 = 10 MPa

R = σ₁ − C = 130 − 10 = 120 MPa

Tangentinis įtempis

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(120² − 60²) = 103,9 MPa

Atsakymas

τ_xy = 103,9 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 2,144

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = −20 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 38,31 MPa, σ₂ = −78,31 MPa, σ₃ = 0

Treska

σ_max − σ_min = 116,6 MPa

n = 250/116,6 = 2,144

Atsakymas

n = 2,144

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,07945 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·4006 = 5,034 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 100000·400/5,034 × 10⁸ = 0,07945 mm

Atsakymas

δ = 0,07945 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 79,58 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 25,98 MPa

σ₂ = 79,58 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 79,58 MPa

Atsakymas

σ_max = 79,58 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 343,8 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1750² = 343758 N = 343,8 kN

Atsakymas

P_cr = 343,8 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 1,919 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Atsakymas

σ_cr = 1,919 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,2995

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·25) = 3873 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 1160/3873 = 0,2995

Atsakymas

ζ = 0,2995

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 8,717 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 10 + 50 = 60 kN/m

k_eq = 60·20/(60 + 20) = 15 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(15000/5) = 54,77 rad/s

f_n = 54,77/(2π) = 8,717 Hz

Atsakymas

f_n = 8,717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design