Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 100 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 960 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 1000 N, laisvosios – 250 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 100 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 250 N

P = kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 200 mm ir 250 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 500 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 200 mmd₂ = 250 mmC = 500 mm

θ = °

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas (plienas; išorinis skersmuo 50 mm, vidinis skersmuo 25 mm, ilgis 2,5 m) viename gale įtvirtintas, o kitame sukamas 500 N·m sukimo momentu. Raskite sukimo kampą φ laipsniais.

T = 500 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 75 kW esant 1450 rpm. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,5, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

P = 75 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Apkrautos detalės taške σₓ = 10 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (tempimas teigiamas). Raskite didžiausią tangentinį įtempį plokštumoje τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Apkrautos detalės taške σₓ = −30 MPa, σᵧ = −10 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Raskite tangentinį įtempį τ_θ pjūvyje, kurio normalė pasukta 60° prieš laikrodžio rodyklę nuo x ašies (teigiamas ta pačia prasme kaip τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite ašinę deformaciją ε strype (aliuminis) mikrodeformacijomis (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 25 mm, ilgis 400 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 30 mm, ilgis 300 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 50 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

2 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 40 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,3. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 2 kgk = 40 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 50 kN/m, apatinės k₂ = 80 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 3,77 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 5,027 m/s

Galia

P = (1000 − 250)·5,027 = 3770 W = 3,77 kW

Atsakymas

P = 3,77 kW

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 174,3 °

Diržo kampas

asin(0,05) = 2,866°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·2,866 = 174,3°

Atsakymas

θ = 174,3°

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 1,556 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Sukimo kampas

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·2500/(80000·575243) = 0,02716 rad

φ = 0,02716·180/π = 1,556°

Atsakymas

φ = 1,556°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 40,63 mm

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 493,9 N·m = 493929 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·493929/(π·40·0,9375)) = 40,63 mm

d_i = 0,5·40,63 = 20,32 mm

Atsakymas

d_o = 40,63 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 39,77 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_max = 46,1 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.

Moro apskritimo spindulys

τ_max = R = √(((10 − 80)/2)² + −30²) = 46,1 MPa

Atsakymas

τ_max = 46,1 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_θ = −11,34 MPa

Transformacijos lygtis

τ_θ = −−10·0,866 + 40·−0,5 = −11,34 MPa

Atsakymas

τ_θ = −11,34 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: ε = 12000 µε

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 95·1000/113,1 = 840 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for aliuminis = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 840/70000 = 0,012 = 12000 µε

Atsakymas

ε = 12000 µε

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 28,43 MPa

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Standumai

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 70000·706,9/300 = 164934 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 50000·164934/410371 = 20096 N

Įtempis

σ₂ = 20096/706,9 = 28,43 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 28,43 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 28,42 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/2500² = 28424 N = 28,42 kN

Atsakymas

P_cr = 28,42 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 137,1 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Atsakymas

σ_cr = 137,1 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 21,47 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(40000/2) = 141,4 rad/s

f_n = 141,4/(2π) = 22,51 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 22,51·√(1 − 0,3²) = 21,47 Hz

Atsakymas

f_d = 21,47 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 30,77 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/80 → k_eq = 50·80/(50 + 80) = 30,77 kN/m

Atsakymas

k_eq = 30,77 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design