Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

120 mm skriemulys sukasi 1450 rpm ir diržu suka 300 mm skriemulį, slydimas 1 %. Raskite varomojo skriemulio sūkių dažnį n₂.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 300 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 80 mm varantįjį skriemulį, sukamą 1450 rpm, su 200 mm skriemuliu; ašys nutolusios 800 mm. Trinties koeficientas yra 0,3, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 2000 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 200 mmC = 800 mmμ = 0,3T₁ = 2000 N

P = kW

3.Velenų sukimasVidutinis

Pilnaviduris velenas (aliuminis) įtvirtintas sienoje ir laisvajame gale sukamas momentu T. Raskite laisvojo galo sukimo kampą φ laipsniais.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Velenų sukimasSunkus

Tuščiaviduris velenas perduoda 50 kW esant 300 aps./min. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. Raskite absoliutųjį didžiausią tangentinį įtempį τ_abs taške (atsižvelgiant į visas plokštumas trijuose matmenyse).

σ_x = 100 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −60 MPa ir τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Raskite fon Mizeso ekvivalentinį įtempį σ_vM.

σ_x = 150 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −30 MPa

σ_vM = MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

Raskite strypo (varis) pailgėjimą δ veikiant ašinei apkrovai.

P = 115 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

Laiptuotas strypas įtvirtintas sienoje ir apkrautas laisvajame gale. Raskite didžiausią normalinį įtempį σ_max strype.

P = 45 kN1 ruožas: Ø30 mm, 2 m, aliuminis (E = 70 GPa)2 ruožas: Ø20 mm, 1,5 m, plienas (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aliuminis)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Raskite jos liaunį ir kritinį klupimo įtempį σ_cr pagal Oilerio formulę.

L = 6 mE = 200 GPa (plienas)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

40 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 80 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,35. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 40 kgk = 80 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

10 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 100 kN/m, apatinės k₂ = 12 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n₂ = 574,2 rpm

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Sūkių dažnis be slydimo

1450·120/300 = 580 rpm

Su slydimu

n₂ = 580·0,99 = 574,2 rpm

Atsakymas

n₂ = 574,2 rpm

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 7,196 kW

Apkabos kampas

θ = 2,991 rad

Laisvosios šakos įtempimas

e^μθ = e^0,8974 = 2,453, T₂ = 2000/2,453 = 815,2 N

Galia

P = (2000 − 815,2)·6,074 = 7,196 kW

Atsakymas

P = 7,196 kW

3.Velenų sukimas

Atsakymas: φ = 7,015 °

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω.

Polinis inercijos momentas

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sukimo kampas

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(26000·251327) = 0,1224 rad

φ = 0,1224·180/π = 7,015°

Atsakymas

φ = 7,015°

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 63,56 MPa

Sukimo momentas

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Polinis inercijos momentas

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

Didžiausias tangentinis įtempis

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,592 × 10⁶·30/751193 = 63,56 MPa

Atsakymas

τ_max = 63,56 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: τ_abs = 85,44 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Trijuose matmenyse absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis yra (σ_max − σ_min)/2 tarp visų trijų pagrindinių įtempių; plokščiajame įtempių būvyje trečiasis lygus nuliui.

Pagrindiniai įtempiai plokštumoje

C = 20 MPa, R = √(80² + 30²) = 85,44 MPa

σ₁ = 105,4 MPa, σ₂ = −65,44 MPa, σ_z = 0

Didžiausias iš trijų apskritimų

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(170,9, 105,4, 65,44)/2 = 85,44 MPa

Atsakymas

τ_abs = 85,44 MPa

Čia σ₁ ir σ₂ priešingų ženklų, todėl maksimumas plokštumoje R kartu yra ir absoliutusis maksimumas.

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_vM = 194,4 MPa

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 45 MPa, R = 109,2 MPa

σ₁ = 154,2 MPa, σ₂ = −64,2 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(154,2² − 154,2·(−64,2) + (−64,2)²) = 194,4 MPa

Atsakymas

σ_vM = 194,4 MPa

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 2,444 mm

Huko dėsnis: tampriojoje srityje σ = E·ε. Sujungus su σ = P/A ir ε = δ/L, gaunama δ = PL/(AE).

Įtempis

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/201,1 = 572 MPa

Deformacija (Huko dėsnis)

E for varis = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 572/117000 = 0,004889 = 4889 µε

Pailgėjimas

δ = ε·L = 0,004889·500 mm = 2,444 mm

Atsakymas

δ = 2,444 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ_max = 143,2 MPa

Ašiškai apkrauti elementai: kiekvienas prizminis ruožas tenkina δ = PL/(AE). Nuosekliai sujungtų ruožų pailgėjimai sumuojami.

Ta pati jėga abiejuose ruožuose

Laisvasis galas perduoda P, todėl kiekvienas strypo skerspjūvis perduoda tą pačią ašinę jėgą P. Keičiasi tik plotai ir medžiagos.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Didžiausias įtempis

Plonesnio ruožo plotas mažesnis, todėl jame įtempis didesnis.

σ_max = 143,2 MPa

Atsakymas

σ_max = 143,2 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 28,2 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/2800² = 28199 N = 28,2 kN

Atsakymas

P_cr = 28,2 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: σ_cr = 12,34 MPa

Mažiausias inercijos momentas

Apvalus skerspjūvis turi tą patį I bet kurios ašies atžvilgiu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Inercijos spindulys ir liaunis

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Kritinis įtempis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Atsakymas

σ_cr = 12,34 MPa

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 6,667 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(80000/40) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,35²) = 6,667 Hz

Atsakymas

f_d = 6,667 Hz

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 5,21 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/12 → k_eq = 100·12/(100 + 12) = 10,71 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(10714/10) = 32,73 rad/s

f_n = 32,73/(2π) = 5,21 Hz

Atsakymas

f_n = 5,21 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design