Mašinų elementai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Velenų sukimas

Tangentinis įtempis: τ = T·r/J
Pilnaviduris velenas: J = πd⁴/32
Tuščiaviduris velenas: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ)
Galia: P = T·ω = 2πnT/60

Metodas

Raskite polinį inercijos momentą: pilnaviduriam velenui J = πd⁴/32.
Tangentinis įtempis paviršiuje: τ = T·r/J, kur r – išorinis spindulys.
Sukimo kampas: φ = TL/(GJ) radianais.
Jei duota galia, pirmiausia raskite sukimo momentą pagal P = T·ω, ω = 2πn/60.

Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Centras: C = (σ_x + σ_y)/2
Spindulys: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Pagrindiniai įtempiai: σ_1,2 = C ± R
Pagrindinė kryptis: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Pasvirasis pjūvis: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodas

Apskaičiuokite Moro apskritimo centrą: C = (σx + σy)/2.
Apskaičiuokite spindulį: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Pagrindiniai įtempiai yra C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R.
Kampai apskritime dvigubai didesni už kampus elemente: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Ašinis įtempis ir deformacija

Normalinis įtempis: σ = F/A
Deformacija: ε = ΔL/L
Huko dėsnis: σ = E·ε
Pailgėjimas: ΔL = FL/(EA)
Šiluminė deformacija: ε_T = α·ΔT

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga: P_cr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas: K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis: σ_cr = P_cr/A
Liaunis: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

4 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 24; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 50. Krumpliaračių poros naudingumo koeficientas – 96 %. Raskite sukimo momentą T₁ variklio velene.

P = 4 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 24N₂ = 50η = 96%

T₁ = N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Daugiapakopėje krumpliaratinėje pavaroje krumpliaratis A (36 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 3000 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (50 dantų). Krumpliaratis C (24 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D (32 dantų) ant išėjimo veleno. Raskite išėjimo sukimosi greitį n_out.

n_in = 3000 rpmA = 36B = 50C = 24D = 32

n_out = rpm

3.Velenų sukimasVidutinis

Tuščiaviduris velenas turi perduoti 1000 N·m sukimo momentą. Jo vidinio ir išorinio skersmenų santykis turi būti 0,6, o tangentinis įtempis negali viršyti 40 MPa. Raskite mažiausią išorinį skersmenį d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Velenų sukimasSunkus

Pilnaviduris velenas (aliuminis), kurio skersmuo 20 mm, abiem galais A ir B įtvirtintas standžiose sienose. Taške C, 1,2 m atstumu nuo A ir 1,5 m atstumu nuo B, pridėtas 750 N·m sukimo momentas. Raskite didžiausią tangentinį įtempį τ_max velene.

d = 20 mmT₀ = 750 N·ma = 1,2 mb = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaVidutinis

Taške σₓ = 140 MPa, σᵧ = 80 MPa ir τₓᵧ = 40 MPa (tempimas teigiamas). Elementas pasukamas 40° prieš laikrodžio rodyklę. Raskite normalinį įtempį σ_y′ pasukto elemento sienelėse, statmenose pasuktajai y′ ašiai.

σ_x = 140 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacijaSunkus

Plonos plokštės taškas yra plokščiajame įtempių būvyje: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 60 MPa ir τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Medžiagos takumo riba 355 MPa. Raskite atsargos koeficientą n takumo atžvilgiu pagal fon Mizeso (formos keitimo energijos) kriterijų.

σ_x = −10 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Ašinis įtempis ir deformacijaVidutinis

plienas strypas (skersmuo 25 mm, E = 200 GPa) yra viduje vamzdžio iš aliuminis (išorinis skersmuo 100 mm, vidinis skersmuo 60 mm, E = 70 GPa). Abu 500 mm ilgio ir kartu gniuždomi tarp standžių plokščių 250 kN jėga. Raskite sutrumpėjimą δ.

P = 250 kNstrypas: Ø25 mm, E = 200 GPavamzdis: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Ašinis įtempis ir deformacijaSunkus

plienas atkarpa (skersmuo 30 mm, ilgis 600 mm, E = 200 GPa) ir atkarpa iš aliuminis (skersmuo 50 mm, ilgis 300 mm, E = 70 GPa) sujungtos galais ir įtvirtintos tarp dviejų standžių sienų. Sandūroje veikia 60 kN ašinė apkrova, nukreipta į 2 atkarpą. Raskite 2 atkarpos įtempio didumą σ₂.

1 atkarpa: plienas, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa2 atkarpa: aliuminis, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.Kolonų klupimasVidutinis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Kolonų klupimasSunkus

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra įtvirtinta apačioje ir šarnyriškai atremta viršuje. Ji turi atlaikyti 135 kN su 2,5 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 135 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (plienas)

d = mm

11.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 12 mm poslinkio amplitudės po 3 ciklų seka 4,7 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 12 mmx₃ = 4,7 mmn = 3

ζ =

12.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 5 kN/m ir k₂ = 80 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T₁ = 26,34 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Variklio sukimo momentas

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/151,8 = 26,34 N·m

Atsakymas

T₁ = 26,34 N·m

2.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_out = 1620 rpm

Pirmoji pakopa

n_B = 3000·36/50 = 2160 rpm = n_C

Antroji pakopa

n_out = 2160·24/32 = 1620 rpm

Atsakymas

n_out = 1620 rpm

bendras perdavimo skaičius = 1,852 : 1

3.Velenų sukimas

Atsakymas: d_o = 52,69 mm

Išorinis skersmuo iš leistinojo įtempio

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·40·0,8704)) = 52,69 mm

d_i = 0,6·52,69 = 31,61 mm

Atsakymas

d_o = 52,69 mm

Pilnaviduriam velenui reikėtų d = 50,31 mm; tuščiaviduris kiek didesnis, bet daug lengvesnis.

4.Velenų sukimas

Atsakymas: τ_max = 265,3 MPa

Apvalių velenų sukimas: tangentinis įtempis tiesiškai didėja nuo nulio centre iki τ_max = T·r/J paviršiuje, kur J = πd⁴/32 pilnaviduriam velenui ir J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 tuščiaviduriam. Sukimo kampas φ = TL/(GJ) radianais. Galią ir sukimo momentą sieja P = T·ω. Kai abu galai įtvirtinti, vien statika duoda tik T_A + T_B = T₀; antroji lygtis yra suderinamumas (abiejų dalių vienodas sukimo kampas apkrautame skerspjūvyje).

Pusiausvyra ir suderinamumas

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·1,5/2,7 = 416,7 N·m

T_B = 750·1,2/2,7 = 333,3 N·m

Didžiausias tangentinis įtempis

Lemia didesnysis iš dviejų sukimo momentų (skersmuo tas pats).

τ_max = 16·416667/(π·20³) = 265,3 MPa

Atsakymas

τ_max = 265,3 MPa

5.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: σ_y′ = 65,4 MPa

Transformacijos lygtis y′ sienelei

σ_y′ = 110 − 30·0,1736 − 40·0,9848 = 65,4 MPa

Patikra

Normalinių įtempių suma sukant elementą nekinta.

σ_x′ = 154,6 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 220 = σ_x + σ_y

Atsakymas

σ_y′ = 65,4 MPa

6.Moro apskritimas ir įtempių transformacija

Atsakymas: n = 4,243

Plokščiojo įtempių būvio transformacija: pjūvyje, pasuktame kampu θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Moro apskritimas parodo visus pjūvius iš karto: jo centras C = (σₓ + σᵧ)/2, o spindulys R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Pagrindiniai įtempiai lygūs C ± R, o didžiausias tangentinis įtempis plokštumoje lygus R. Takumo kriterijai: pagal fon Mizesą takumas prasideda, kai σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) pasiekia σ_Y; pagal Treską – kai absoliutusis didžiausias tangentinis įtempis pasiekia σ_Y/2.

Pagrindiniai įtempiai

C = 25 MPa, R = 46,1 MPa

σ₁ = 71,1 MPa, σ₂ = −21,1 MPa, σ₃ = 0

Fon Mizesas

σ_vM = √(71,1² − 71,1·(−21,1) + (−21,1)²) = 83,67 MPa

n = 355/83,67 = 4,243

Atsakymas

n = 4,243

n > 1 reiškia, kad taške takumas neprasideda; Treskos kriterijus kiek konservatyvesnis nei fon Mizeso.

7.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: δ = 0,2778 mm

Dvi medžiagos: nuosekliai (viena po kitos) kiekvieną atkarpą veikia ta pati jėga, o pailgėjimai sudedami: δ = P·Σ L/(E·A). Lygiagrečiai (greta tarp standžių plokščių) abi dalys sutrumpėja vienodai, todėl jų deformacijos lygios: standesnė dalis priima didesnę dalį, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, o σ_i = E_i·ε. Strypas, įtvirtintas tarp dviejų standžių sienų ir apkrautas sandūroje, yra statiškai neišsprendžiamas: abi atkarpos apkrovą dalijasi proporcingai savo standumui k = EA/L.

Plotai

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Bendras ašinis standumas

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·5027 = 4,5 × 10⁸ N

Sutrumpėjimas

δ = 250000·500/4,5 × 10⁸ = 0,2778 mm

Atsakymas

δ = 0,2778 mm

8.Ašinis įtempis ir deformacija

Atsakymas: σ₂ = 20,18 MPa

Standumai

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm

2 atkarpos dalis

F₂ = 60000·458149/693768 = 39623 N

Įtempis

σ₂ = 39623/1963 = 20,18 MPa (gniuždymas)

Atsakymas

σ₂ = 20,18 MPa

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: P_cr = 266,5 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai P_cr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritinė jėga

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1000² = 266479 N = 266,5 kN

Atsakymas

P_cr = 266,5 kN

10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 62,6 mm

Reikiama kritinė jėga

P_cr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 62,6 mm

Atsakymas

d = 62,6 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 134,2, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

11.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,04967

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/3)·ln(12/4,7) = 0,3124

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3124/√(39,48 + 0,09762) = 0,04967

Atsakymas

ζ = 0,04967

12.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 85 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 80 = 85 kN/m

Atsakymas

k_eq = 85 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design